szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 maja 2019, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Witam, chciałbym zrozumieć w jaki sposób rozwiązać takie równania, korzystając z metody rozdzielania zmiennych:

a)\ u_t=3u_x \\
 b)\ u_x+u_y=0 \\
 c)\ u_x+e^{-x}u_y=0

Bardzo dziękuje za każdą poradę i pomoc :)

Do przykładu a:
Zakładam, że istnieje rozwiązanie w postaci u(x,t) = X(x) \cdot T(t)
U_x=X'(x) \cdot T(t) \\
 U_t=X(x) \cdot T'(t)

wstawiając do równania:
X(x) \cdot T'(t) = 3 \cdot (X'(x) \cdot T(t)) \\
 X(x) \cdot T'(t) = 3X'(x) \cdot 3T(t) \\
 \frac{X(x)}{3X'(x)}=\frac{3T(t)}{T'(t)}
więc udało się rozdzielić zmienne. Co dalej?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 00:32 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18644
Lokalizacja: Cieszyn
Skoro lewa strona zależy tylko od x, a prawa tylko od t, to obie muszą być (tą samą) stałą.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:07 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
U_t = U \cdot U_x
zakładamy, że:
u(x,t) = X(x) \cdot T(t) \\
 U_t=X \cdot T' \\
 U_x = X' \cdot T \\
 U = X \cdot T
wstawiając do równania otrzymuje:
X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T \\
 \frac{T'}{T^2} = X' = k - const \\
 \frac{T'}{T^2}=k \\
 T' = kT^2 \\
 \frac{dT}{dx} = kT^2 \\
 \frac{dT}{T^2}=kdx \\
 - \frac{1}{t}+C_1 = kx \\
 T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}

rozwiązując drugą część równania:
X' = k \\
 \frac{dX}{dx} = k \\
 dX = kdx \\
 X = kx + C_2 \\
 X(x) = kX + C_2

wstawiając do równania, mogę C_1 i C_2 zapisać jako C?:
U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C

Bardzo dziękuje za pomoc :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dariomario napisał(a):
Ok, dziękuje. Postanowiłem wziąć więc na tapetę przykład:
U_t = U  \cdot U_x
zakładamy, że:
u(x,t) = X(x) \cdot T(t)
U_t=X \cdot T'
U_x = X' \cdot T
U = X \cdot T
wstawiając do równania otrzymuje:
X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T
\frac{T'}{T^2} = X' = k - const
\frac{T'}{T^2}=k
T' = kT^2
\frac{dT}{dx} = kT^2
\frac{dT}{T^2}=kdx
- \frac{1}{t}+C_1 = kx
T(t) = - \frac{1}{kx}+ \frac{1}{C_1}

rozwiązując drugą część równania:
X' = k
\frac{dX}{dx} = k
dX = kdx
X = kx + C_2
X(x) = kX + C_2

wstawiając do równania, mogę C_1 i C_2 zapisać jako C?:
U(x,t) = - \frac{1}{kx} \cdot kX + C

Bardzo dziękuje za pomoc :)


Znaki "prim" w równaniu X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T oznaczają różniczkowania po różnych zmiennych.
Zanalizuj jeszcze raz swoje "rozwiązanie"
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
No rozumiem, dążę do tego aby X zostawić po jednej stronie, a T po drugiej. Wtedy:
X \cdot T' = X \cdot T \cdot X' \cdot T
dzieląc obustronnie przez XT^2
otrzymuje:
\frac{T'}{T^2} = X' = k - const
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:29 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
I teraz robisz błąd, bo piszesz \frac{dT}{dx}=T^2, a ten prim oznacza akurat różniczkowanie po t

Nie zastanowiło Cię, że otrzymany przez Ciebie wynik nie zależy od zmiennej t?????
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
Okay, zauważyłem, fakt:
\frac{T'}{T^2} = k \\
 T' = kT^2 \\
 \frac{dT}{dt} = kT^2 \\
 \frac{dT}{T^2} = kdt  \\
 - \frac{1}{T} + C_1 = kt \\
 T = -  \frac{1}{kt} +  \frac{1}{C_1}


rozwiązując drugą część równania:
X' = k \\
 \frac{dX}{dx} = k \\
 dX = kdx \\
 X = kx + C_2 \\
 X(x) = kx + C_2

wstawiając do równania, mogę C_1 i C_2 zapisać jako C?:
U(x,t) = - \frac{1}{kt} \cdot kx + C = -  \frac{kx}{kt}+C = -  \frac{x}{t}+C

Jest ok?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
Po pierwsze z - \frac{1}{T} + C_1 = kt nie wynika, że T = - \frac{1}{kt} + \frac{1}{C_1}

Po drugie: niepoprawnie pomnożyłeś X i T
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 maja 2019, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Warszawa
- \frac{1}{T} = kt - C_1 / ^{-1} \\
 -T = \frac{1}{kt-C_1} / \cdot \left( -1 \right) \\
 T = - \frac{1}{kt-C_1}

X \cdot T = \left( kx + C_2 \right) \cdot \left( - \frac{1}{kt-C_1} \right) = - \frac{kx+C_2}{kt-C_1}

Jeśli popełniłem teraz gdzieś błąd, proszę o wskazanie :/
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiąż równ rózniczkowe 1 stopnia - dziekuje za wsparcie  BArtox  1
 Rozwiąż równanie - zadanie 113  pumas  2
 Rozwiąż równanie różniczkowe - zadanie 2  Darekstalowka  1
 Równanie różniczkowe metodą separacji zmiennych w fizyce  forgetmenot21  7
 Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych ?  lled3  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl