szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2019, o 09:54 
Użytkownik

Posty: 5773
Lokalizacja: Kraków
Niech p>3 będzie liczbą pierwsza, zaś m liczbą całkowitą. Udowodnić, że istnieją liczby całkowita x, y takie, że 2x^2+3y^2 -m jest podzielne przez p
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2019, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 364
Lokalizacja: Warszawa
Zauważmy, że odwzorowanie x\mapsto x^2 określone dla ciała \mathbb{Z}_p reszto modulo p przyjmuje dokładnie \frac{p-1}{2}+1 wartości. Innymi słowy reszt kwadratowych modulo p jest \frac{p-1}{2}+1.

Ustalmy m\in \mathbb{Z} oraz p>3. Wówczas równanie

2X+3Y=m

ma na płaszczyźnie \mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_p dokładnie p rozwiązań (zbiorem rozwiązań jest prosta afiniczna nad \mathbb{Z}_p). Ponadto z faktu, że p>3 wynika, że jeśli (X_1,Y_1) oraz (X_2,Y_2) są dwoma różnymi rozwiązaniami tego równania, to zachodzi własność

X_1 \neq X_2,\,Y_1\neq Y_2

Wystarczy wykazać, że istnieje rozwiązanie powyższego równania (X,Y) takie, że zarówno X jak i Y są resztami kwadratowymi modulo p. Niech A będzie zbiorem rozwiązań (X,Y) tego równania takich, że X jest resztą kwadratową. Analogicznie niech B będzie zbiorem rozwiązań (X,Y) tego równania takich, że Y jest resztą kwadratową. Z własności podanej wyżej, faktu, że równanie ma dokładnie p rozwiązań oraz uwagi na temat liczby reszt kwadratowych modulo p otrzymujemy, że

|A| = |B| = \frac{p-1}{2}+1,\,|A\cup B|\leq p

Stąd z zasady szufladkowej otrzymujemy, że A\cap B \neq \emptyset, co dokładnie oznacza tezę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 24 - zadanie 3  szymek12  1
 Podzielność z silnią - zadanie 3  Brombal  9
 2222.....23 i podzielność przez 19  Artist  5
 Suma cyfr liczby oraz jej podzielnosc  Gromo  1
 Udowodnij podzielność - zadanie 12  bimber  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl