szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:36 
Użytkownik

Posty: 102
Lokalizacja: Poznań
Jak obliczyć takiego byczka \int x \frac{ \sqrt{x-2} }{ \sqrt{4-x} }  \mbox{d}x
Próbowałam przez części, ale jakoś nie wychodzi...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Spróbuj podstawienia

t =  \frac{ \sqrt{x-2} }{ \sqrt{4-x} }

chyba że musisz przez części

\int x \frac{ \sqrt{x-2} }{ \sqrt{4-x} }  \mbox{d}x\\
t=\frac{ \sqrt{x-2} }{ \sqrt{4-x} }\\
t^2=\frac{x-2}{4-x}\\
t^2=\frac{x-4+2}{4-x}\\
t^2=-1+\frac{2}{4-x}\\
t^2+1=\frac{2}{4-x}\\
 \frac{t^2+1}{2}= \frac{1}{4-x}\\
\frac{2}{t^2+1} =4-x\\
x-4=-\frac{2}{t^2+1}\\
x = 4 -\frac{2}{t^2+1}\\
x=\frac{4t^2+4-2}{t^2+1}\\
x= \frac{4t^2+2}{t^2+1} \\
 \mbox{d}x =\left( -2\right)\left( -1\right)  \left( t^2+1\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{4t}{\left( t^2+1\right)^2 }  \mbox{d}t\\
 \int{ \frac{4t^2+2}{t^2+1} \cdot t \cdot   \frac{4t}{\left( t^2+1\right)^2 }  \mbox{d}t} \\
8 \int{ \frac{t^2\left( 2t^2+1\right) }{\left( t^2+1\right)^3 } \mbox{d}t } \\

i teraz albo wydzielenie części wymiernej sposobem Ostrogradskiego
albo zastosowanie wzoru redukcyjnego

8\int{\frac{2t^4+t^2}{\left( t^2+1\right)^3  }\mbox{d}t}=8\int{\frac{\left(2t^4+4t^2+2 \right)-3\left( t^2+1\right)+1  }{\left( t^2+1\right)^3 } \mbox{d}t}\\
=16\int{ \frac{ \mbox{d}t }{t^2+1} }-24 \int{\frac{ \mbox{d}t}{\left( t^2+1\right)^2 }} +8 \int{ \frac{ \mbox{d}t}{\left( t^2+1\right)^3 } }

Wzór redukcyjny

\int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^n }}=\int{\frac{1+x^2-x^2}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{1+x^2}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x  }-\int{ \frac{x^2}{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x  }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }-\int{ \frac{x^2}{\left( x^2+1\right)^n }  \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }+\int{ \frac{x}{\left( 2n-2\right) }  \cdot  \frac{\left( -1\right)\left( 2n-2\right)x  }{\left( x^2+1\right)^n } \mbox{d}x  }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }+\frac{1}{2n-2} \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} } -\frac{1}{2n-2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }\\
=\frac{1}{2n-2} \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} }+ \frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }\\
 \int{\frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^n }}=\frac{1}{2n-2} \frac{x}{\left( x^2+1\right)^{n-1} }+ \frac{2n-3}{2n-2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^2+1\right)^{n-1} } }\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczenie całki - zadanie 25  taffer  7
 Obliczenie całki - zadanie 42  xxmonikaxx  3
 Obliczenie całki - zadanie 46  Dadas  5
 obliczenie całki - zadanie 49  matinf  4
 Obliczenie całki - zadanie 44  Miixx  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl