szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
 Tytuł: gestosci studia
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:14 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Hej, mam problem z tymi zadaniami nie wiem do końca jak się za to zabrać. Mógłby ktoś mi to jakoś rozjaśnić??

Gęstość g_{a,\lambda}(x)=\lambda^{\alpha}x^{\alpha -1}\Gamma(\alpha)^{-1}e^{- \lambda x} nazywamy gęstością gamma z parametrami \alpha>0, \lambda>0, (rozklad o tej gęstości oznaczamy \gamma( \alpha,\lambda )), gdzie \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}dx.

Pokaz, ze

g_{\alpha_1,\lambda}  \cdot  g_{\alpha_2,\lambda} = g_{\alpha_1+\alpha_2,\lambda}.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: gestosci studia
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13982
Lokalizacja: Wrocław
Masz zweryfikować prawdziwość równości
\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}x^{\alpha_1+\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda x}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)= \\=\int_{\RR}^{}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)\,\dd y
Zauważmy, że zachodzi równość
}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x-y)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(y)=}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,x)}(y),
toteż tę całkę możesz zapisać jako
\int_{0}^{x}\lambda^{\alpha_1}(x-y)^{\alpha_1-1}\Gamma(\alpha_1)^{-1}e^{-\lambda (x-y)}\lambda^{\alpha_2}y^{\alpha_2-1}\Gamma(\alpha_2)^{-1}e^{-\lambda y}1{\hskip -2.5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x)\,\dd y
Dalej wyciągnij przed całkę wszystko, co się da, korzystając z liniowości całki oznaczonej, po czym podstaw y=tx (tj. t jest nową zmienną), co sprowadzi całeczkę do funkcji beta z parametrami \alpha_2-1, \ \alpha_1-1. Następnie korzystasz
z \mathrm{B}(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} i koniec.
Góra
Kobieta
 Tytuł: gestosci studia
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:59 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję za pomoc i wyjaśnienie co z czego.
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: gestosci studia
PostNapisane: 15 maja 2019, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 4881
Dodatkowo, w oparciu funkcję generującą momenty rozkładu \Gamma(\alpha, \lambda)

M(t,\alpha, \lambda) = Ee^{tX} = \int_{0}^{\infty}e^{tx}g(x, \alpha, \lambda})dx

M(t,\alpha, \lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{tx}\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\lambda t}dx

M(t,\alpha, \lambda) = \frac{\lambda^{\apha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-(\lambda -t )x} dx = \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\cdot \frac{\Gamma(\alpha)}{(\lambda - t)^{\alpha}}= \frac{1}{\left( 1-\frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha}}.

Jeśli X \sim \Gamma(\alpha_{1},\lambda), \ \ Y \sim \Gamma(\alpha_{2}, \lambda),

to z własności funkcji generujących momenty

M_{X+Y}(t) =  \frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{1}}}\cdot  \frac{1}{\left( 1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{\alpha_{2}}}=\frac{1}{\left( 1- \frac{t}{\lambda}\right)^ {\alpha_{1}+ \alpha_{2}}}

X + Y \sim \Gamma(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \lambda)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 obliczanie funkci gęstości zmiennej losowej  maniazaw  1
 Wyznaczanie gęstości w rozkładzie jednostajnym  samanthaa92  1
 Wyznaczenie gęstości prawdopodobieństwa [Tylko sposób]  ghostko  4
 Benzyna ma rozkład o gęstości  gajatko  5
 Funkcja gęstości g(z)  Rafal_20  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl