szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 01:06 
Użytkownik

Posty: 517
Lokalizacja: Rzeszów
Zawsze miałem z tym problem (bo wyjaśniania, że dodatkowa zmienna jest parametrem niewiele wyjaśnia). Ale teraz powoli staje się to jasne. Myślę, że znam to dobrze w kontekście dodawania i mnożenia liczb naturalnych. Teraz mnie naszło aby się w ogólności nad tym zastanowić.

Przede wszystkim tak- na czym polega takie definiowanie. Chcemy dla dowolnego n\in\NN , dla dowolnego a \in A zdefiniować jeden element f\left( n,a\right)( i tak dla dowolnego n \in \NN, i dowolnego a \in A), tak :?: Definiujemy więc dla dowolnego a \in A element f\left( 0,a\right). Mamy zatem zdefiniowane f\left( 0,a\right) dla dowolnego a \in A. Teraz dla dowolnego ustalonego a \in A definiujemy f\left( 1,a\right) na podstawie wartości f\left( 0,a\right), tak? Mamy zatem zdefiniowane f\left( m,a\right), dla wszystkich m=0,1, a\in A.. Teraz dla dowolnego ustalonego a \in A definiujemy element f\left( 2,a\right), na podstawie wartości f\left( 1,a\right);f\left( 0,a\right), i tak dla dowolnego a \in A. Dalej, w kroku n zakładamy domyślnie, że zdefiniowana jest taka funkcja dla wszystkich m<n oraz a \in A, i dla dowolnego ustalonego a\in A definiujemy element f\left( n,a\right) na podstawie wartości f\left( 0,a\right);f\left( 1,a\right);\ldots;f\left( n-1,a\right), i tak dla dowolnego a \in A. Stąd otrzymujemy funkcję na \NN \times A, o to chodzi :?:

Niech A=\RR, x \in A.

\begin{cases} x ^{0}=1  \\ x ^{n+1}=x ^{n} \cdot x.   \end{cases} To dobry przykład :?: Prosiłbym o jeszcze jeden, gdzie A \neq \NN.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 maja 2019, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 1689
Lokalizacja: Sosnowiec
Też się nad tym kiedyś zastanawiałem, chociaż trochę w innym kontekście. Pokażę jak to według mnie wygląda ze strony formalnej, ale na przykładzie twierdzenia o definiowaniu przez indukcję w wersji, w której zależność jest tylko od poprzedniego wyrazu (nie tak jak u ciebie od wszystkich poprzednich).

Zerknijmy na twierdzenie o definiowaniu przez indukcję w klasycznej wersji bez parametru:

Twierdzenie. Niech X będzie zbiorem, x_0\in X oraz niech \Phi:\NN\times X\rightarrow X będzie funkcją. Wówczas istnieje dokładnie jedna funkcja F:\NN\rightarrow X taka, że
F(0)=x_0
F(n+1)=\Phi(n,F(n)) dla każdego n\in\NN.

Powiedzmy, że chcemy teraz zdefiniować "coś z parametrem", tak jak w twoim przykładzie:
Jakub Gurak napisał(a):
\begin{cases} x ^{0}=1  \\ x ^{n+1}=x ^{n} \cdot x.   \end{cases}


Mamy więc dodatkowy zbiór A i chcemy zdefiniować funkcję f:\NN\times A\rightarrow A. Cała ta zabawa w definiowanie to tak naprawdę dowodzenie istnienia i jednoznaczności tej funkcji. Zrobię to na twoim przykładzie funkcji potęgowej, chociaż można sformułować odpowiednie twierdzenie o definiowaniu z parametrem. Udowodnijmy więc najpierw, że

(*)Dla każdego a\in A=\RR istnieje dokładnie jedna funkcja F:\NN\rightarrow \RR taka, że

F(0)=1
F(n+1)=F(n)\cdot a dla każdego n\in\NN.

No więc jak to dowodzimy? Ustalamy a\in\RR, a potem stosujemy twierdzenie o definiowaniu przez indukcję w wersji bez parametru. Czyli musimy po prostu wskazać funkcję \Phi (zależną od a) i oczywiście pierwszy wyraz (w tym przypadku równy 1 chociaż w ogólności może zależeć od a). W tym miejscu nie ma co wchodzić zbytnio w szczegóły ATM, jak dowodzi się, że takowe \Phi istnieje.

Z chwilą, gdy udowodniliśmy (*) nic nie stoi na przeszkodzie, żeby tę jedyną funkcję F zależną od a oznaczyć sobie F_a, a dalej stosując aksjomat zastępowania (być może wyróżnianie też by wystarczyło) otrzymujemy funkcję a\mapsto F_a i puentujemy wzorem f(n,a):=F_a(n).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2019, o 00:18 
Użytkownik

Posty: 517
Lokalizacja: Rzeszów
Dobra, dobra, na formalne twierdzenie od razu się nie porywam. Najpierw chcę zrozumieć o co w tym chodzi. :) Nie uzyskałem odpowiedzi:
Jakub Gurak napisał(a):
Przede wszystkim tak- na czym polega takie definiowanie. Chcemy dla dowolnego n\in\NN , dla dowolnego a \in A zdefiniować jeden element f\left( n,a\right)( i tak dla dowolnego n \in \NN, i dowolnego a \in A), tak :?: Definiujemy więc dla dowolnego a \in A element f\left( 0,a\right). Mamy zatem zdefiniowane f\left( 0,a\right) dla dowolnego a \in A. Teraz dla dowolnego ustalonego a \in A definiujemy f\left( 1,a\right) na podstawie wartości f\left( 0,a\right), tak? Mamy zatem zdefiniowane f\left( m,a\right), dla wszystkich m=0,1, a\in A.. Teraz dla dowolnego ustalonego a \in A definiujemy element f\left( 2,a\right), na podstawie wartości f\left( 1,a\right);f\left( 0,a\right), i tak dla dowolnego a \in A. Dalej, w kroku n zakładamy domyślnie, że zdefiniowana jest taka funkcja dla wszystkich m<n oraz a \in A, i dla dowolnego ustalonego a\in A definiujemy element f\left( n,a\right) na podstawie wartości f\left( 0,a\right);f\left( 1,a\right);\ldots;f\left( n-1,a\right), i tak dla dowolnego a \in A. Stąd otrzymujemy funkcję na \NN \times A, o to chodzi :?:
Proszę o odpowiedź. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 maja 2019, o 01:36 
Użytkownik

Posty: 1689
Lokalizacja: Sosnowiec
Zgrubsza tak. O to chodzi.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór dwuelementowy z parametrem p.  lukaszw1987  1
 dowod przez indukcje  Keendr  0
 Stożek generowany przez zbiór  magda_m  0
 Obraz zbioru przez złożenie funkcji  Cheerful  1
 Pierścień generowany przez rodzinę zbiorów  majchro  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl