szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 maja 2019, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Mielno
Witam, mam problem z pokazaniem pewnego zawierania. Mianowicie
Mamy zbiór \{a_k-c_n:k,n\in\mathbb{N}\}, który jest nigdziegęsty ponadto,
d_n\to\infty oraz \{d_n:n\in\mathbb{N}\}\subset\bigcup_{k=1}^{\infty}(c_k-\varepsilon_k,c_k+\varepsilon_k) oraz a_k\to\infty.
I chce pokazać, że \{a_k-d_n:k,n\in\mathbb{N}\}'\subset\{a_k-c_n:k,n\in\mathbb{N}\}'
Prosiłbym o wskazówki bo zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 08:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
Zakładasz, że \varepsilon_k \to 0 ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 08:29 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Mielno
Tak, zapomnialem dodac.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 10:52 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
Szkic: załóżmy że x należy do zbioru po lewej. Wtedy dowolnie blisko ma elementy postaci a_k - d_n. Ale elementy d_n dla odpowiednio dużych n leżą dowolnie blisko elementów c_m, zatem a_k - c_m leży blisko a_k - d_n, które leży blisko x. Czyli x należy do zbioru po prawej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 19:33 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Mielno
Generalnie czuje koncept, ale nie wiem jak pokazać to bardziej formalnie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 20:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
No to zacznij dowodzić i wskaż pierwszy moment, w którym się zacinasz. Początek powinieneś umieć: skoro należy pokazać zawieranie dwóch zbiorów, to trzeba ustalić dowolny element z pierwszego z nich i w dalszej części dowodu wykazać, że należy on również do drugiego. Ale to z definicji oznacza, że...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 15 maja 2019, o 22:51 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Mielno
Czy coś w tym stylu jest poprawne.
Załóżmy, że x nalezy do zbioru po lewej. Wówczas w dowolnie małym otoczeniu x
znajdują się punkty postaci a_k-d_n. Z warunku dot. ciągu d_n mamy, że dla dostatecznie dużego n\in\mathbb{N} wyrazy ciągu d_n leżą w dowolnie małym otoczeniu elementów ciągu c_n. Zatem elementy ciągu a_k-d_n leża w pewnym otoczeniu elementów ciągu a_k-c_n stąd x również, zatem należy do zbioru po prawej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2019, o 00:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
SzamanSzaman napisał(a):
Zatem elementy ciągu a_k-d_n leża w pewnym otoczeniu elementów ciągu a_k-c_n stąd x również, zatem należy do zbioru po prawej.
Żeby x należał do zbioru po prawej, to nie x musi leżeć w pewnym otoczeniu elementów ciągu a_k - c_n, tylko w każdym sąsiedztwie x muszą leżeć elementy a_k - c_n.

Zacząć powinieneś tak: ustalmy dowolny \varepsilon > 0. Pokażemy, że w sąsiedztwie (x - \varepsilon, x + \varepsilon ) \setminus \{ x \} leży pewna liczba postaci a_k - c_n.

Teraz trzeba coś wymyślić. Skoro będziemy korzystać z nierówności trójkąta, to wiadomo, że należy powyższe sąsiedztwo zmniejszyć, na przykład do \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right). Potem można wstępnie wywnioskować z założenia, że w tym sąsiedztwie leży pewien wyraz postaci a_k - d_n. Z kolei d_n leży \varepsilon_m-blisko pewnego c_m. Ale nie wiadomo nic o n, więc \varepsilon_m może nie być dostatecznie mały.

Czyli nie chcemy byle jakiego a_k - d_n we wspomnianym sąsiedztwie, tylko takiego, że n jest duże. Jak duże ma być to n i jak to uzyskać?...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 maja 2019, o 19:35 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Mielno
hmm, nie bardzo mam pomysł.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 maja 2019, o 15:11 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8416
Lokalizacja: Wrocław
Ustalmy x \in \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}' i rozważmy dowolne sąsiedztwo V_x = \left( x - \varepsilon, x + \varepsilon \right) \setminus \{ x \} punktu x.


Krok 1: Na początek wykażemy, że dla każdego dostatecznie dużego n \in \NN istnieje takie m \in \NN, że |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}.

W istocie, skoro \varepsilon_m \to 0 przy m \to \infty, to istnieje takie M \in \NN, że \varepsilon_m \le \frac{\varepsilon}{2} dla m \ge M. Zbiór

U_M = \bigcup_{m=1}^{M-1} (c_m - \varepsilon_m, c_m + \varepsilon_m)

jest ograniczony a d_n \to \infty przy n \to \infty, więc istnieje takie N \in \NN, że d_n \notin U_M dla n \ge N. Z założenia wiemy, że dla każdego n \in \NN istnieje m \in \NN, takie że |d_n - c_m| < \varepsilon_m. Jeśli dodatkowo n \ge N, to z rozumowania powyżej musi być m \ge M (bo w przeciwnym razie d_n \in U_M), czyli |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}. To kończy dowód kroku 1.

Niech W_x = \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right) \setminus \{ x \}.

Krok 2: Sąsiedztwo W_x zawiera elementy postaci a_k - d_n dla dowolnie dużych n \in \NN.

W przeciwnym razie istniałoby takie N \in \NN, że dla n \ge N sąsiedztwo W_x nie zawiera żadnego elementu postaci a_k - d_n. Skoro jednak a_k \to \infty, to dla każdego n \in \{ 1, 2, \ldots, N-1 \} to sąsiedztwo zawiera tylko skończenie wiele elementów postaci a_k - d_n. Zbiór

W_x \setminus \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \} = W_x \setminus \underbrace{\bigcup_{n=1}^{N-1} \{ a_k - d_n : k \in \NN \}}_{\text{skończony}}

zawiera więc pewne otwarte sąsiedztwo punktu x rozłączne ze zbiorem \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}, co jest sprzeczne z założeniem, że x \in \{ a_k - d_n : k, n \in \NN \}'. To kończy dowód kroku 2.


Na mocy kroku 1 i kroku 2 możemy teraz wybrać takie n, m \in \NN, że przedział \left( x - \frac{\varepsilon}{2}, x + \frac{\varepsilon}{2} \right) zawiera pewien wyraz postaci a_k - d_n a ponadto |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2}. Stąd

|a_k - c_m - x| \le |a_k - d_n - x| + |d_n - c_m| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,

czyli wyraz a_k - c_m leży w zadanym sąsiedztwie V_x.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 maja 2019, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 420
Lokalizacja: Wrocław
Proponuję rozważyć jako (a_n) i (c_n) numeracje zbioru liczb całkowitych \mathbb Z. Wtedy \{a_n-c_k:k,n\in{\mathbb N}\}=\mathbb Z i zbiór jego punktów skupienia jest pusty.
Weźmy teraz ciąg d_n= c_n+\frac{1}{2^n}. Wtedy zero jest punktem skupienia zbioru \{a_n-d_k:k,n\in{\mathbb N}\}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Każdy zbiór skończony jest zbiorem domkniętym.  marcia07  8
 Czy zbiór jest spójny??  magda2530  1
 Pokaż, że zbiór jest otoczeniem.  magda2530  2
 problem z zadaniami - zadanie 3  ladybird  0
 zbiór nie jest otwarty  Hania_87  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl