szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
 Tytuł: Ruch obrotowy
PostNapisane: 14 maja 2019, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Polska
Drucik, na który nawleczono koralik o masie m, został zwinięty w okrąg o promieniu R. Okrąg ustawiono w płaszczyźnie pionowej i wprawiono w ruch obrotowy wokół pionowej osi. Znaleźć kąt \varphi, dla którego koralik pozostaje w równowadze, przy założeniu, że może ślizgać się swobodnie po druciku.

Proszę o wskazówki, pomoc, cokolwiek. Wiem że takie zadanie było już na forum ale jednak nie pomogło mi to w zrozumieniu zadania :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 21:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6972
\tg \varphi = \frac{ \frac{mv^2}{r} }{mg} \ \ \  \wedge  \ \ \ \sin \varphi = \frac{r}{R}  \ \ \  \wedge  \ \ \ v=\omega r \\
\tg \varphi = \frac{\omega^2 R^2\sin^2 \varphi }{gR\sin \varphi } \\
 \frac{\sin \varphi }{\cos \varphi } =\frac{\omega^2 R\sin \varphi }{g }\\
\cos \varphi = \frac{g}{\omega^2 R}

Ewidentnie brakuje informacji o prędkości kątowej wirującej obręczy.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Ruch obrotowy
PostNapisane: 14 maja 2019, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 4585
\omega = 1 \frac{1}{s} , \ \ R = 1m , \ \ g = 10\frac{m}{s^2},

\cos (\phi) = 10 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 6163
Lokalizacja: Staszów
Uzupełnię obrazkiem, bo rysunek to połowa rozwiązania, a dobry rysunek to omal rozwiązanie.
Proszę zwrócić uwagę na oznaczenia promienia okręgu w który zwinięto drucik. Tu jest r, w liście pana kerajs R , ale to "ten sam" promień.
Obrazek
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 4585
Rysunek Pana jest piękny, ale w tym rozwiązaniu brakuje dodatkowych założeń, chociaż rozumowanie można uznać za poprawne.

\omega \geq \sqrt{\frac{g}{R}} - wynikające z ograniczenia na kosinus.

\phi = \begin{cases} 0 \\  \pm\arccos\left( \frac{g}{\omega^2\cdot R}\right) \ \ \mbox{gdy}, \ \omega \geq \sqrt{\frac{g}{R}} \\  \pi \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 6163
Lokalizacja: Staszów
Pomoc różni się trochę od gotowca.
A w czym tkwi tu różnica "można uznać za poprawne" od "jest poprawne" ?

Oczywista, można zapytać o położenie koralika w chwili rozpoczynania ruchu obrotowego drucianego pierścienia, a nawet o sposób łożyskowania , bo jak czopy pozwalają na połozenie koralika w geometrycznej osi obrotu, to kręcenie pierścieniem nie da spodziewanego efektu bez wypchnięcia koralika z tego położenia.
Ale tu nie o to chodzi.
Koleżanka, widząc ze szkicu jak wygląda układ wektorów , winna "zapytać" o stan, kiedy koralik znajdzie się w położeniu na osi poziomej pierścienia i czy znajdzie się tam.
Ale to już jest jej zadanie a nie podpowiadającego.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Ruch obrotowy
PostNapisane: 14 maja 2019, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 4585
Proszę Pana, oprócz rysunku, który Pan już kiedyś zamieścił do tego zadania przez "zapodaj", uzupełniłem rozwiązanie Pana kierajsa, nie spodziewając się złośliwości.
Za dużo filozofii w Pańskich rozważaniach.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 00:07 
Użytkownik

Posty: 6163
Lokalizacja: Staszów
Dla czego Pan sądzi, że jestem złośliwy?
Jeżeli poczuł się Pan dotknięty tym co napisałem, to przepraszam Pana najmocniej jak potrafię.
Ale pozwoli Pan na pytanie: jakie założenia o których Pan wspomina należy tu poczynić?
Wiesław Kruszewski
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 09:59 
Użytkownik

Posty: 4585
Założenia dotyczące \omega, dla którego równanie \cos(\phi) = \frac{g}{\omega^2R} ma sens.

Panie Wiesławie nie przesadzajmy z tymi przeprosinami. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 11:23 
Użytkownik

Posty: 6163
Lokalizacja: Staszów
O tym, że są takie wartości kąta \varphi dla których równanie traci sens dowiadujemy się po jego rozwiązaniu. Wcześniej "nie mamy podstaw" by tak twierdzić. Zatem nie mamy podstaw czynić założeń co do miary prędkości kątowej.


Proszę zauważyć, że położenie koralika w najniższym punkcie pierścienia jest położeniem dla równowagi stałej. Stąd początek ruchu jest z tego położenia. Dla stałej i pionowej g składowej przyspieszenia koralika o normalnym kierunku do toru (okręgu) jego położenie na poziomym promieniu okręgu jest nienieosiągalne, bo choć prędkość kątowa byłaby nieskończenie wielka to pionowa składowa g powoduje, że prosta do której przynależy wektor przyspieszenia całkowitego nie będzie "poziomy". Stąd warunek pierwszy:

\varphi <  \frac{ \pi }{2}

i drugi \varphi > 0

Zaś ograniczenie nałożone na prędkość kątową \omega wynika tylko z warunku sztytwności pierścienia, a ta jest rzeczywistą stałą fizyczną pierścienia.

Obrazek


Myślę, że kwestię założeń pokazałem akuratnie.
Pozdrawiam Pana i zainteresowanych problemem.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Ruch obrotowy
PostNapisane: 15 maja 2019, o 14:41 
Użytkownik

Posty: 4585
Proszę Pana, należy rozpatrzyć wszystkie przypadki zachowania się układu "drucik-koralik" w zależności od wartości miary kąta \phi oraz \omega w trakcie rozwiązywania zadania.

Rozwiązanie drugie w oparciu o mechanikę Lagrange'a

Lagrangian układu

\math{L} = T - V

T = \frac{1}{2}m\cdot (r\cdot \phi')^2

V_{g} = -m\cdot g \cdot r \cdot \cos(\phi)

V_{c} = -\frac{1}{2}m\cdot r^2 \cdot \omega^2 =-\frac{1}{2}m\cdot a^2\sin^2(\phi) \cdot \omega^2

f_{c} = m\cdot a_{c}= \frac{m\cdot v^2}{r}= m\cdot r \cdot \omega^2 = m\cdot a \cdot \sin(\theta)\cdot \omega^2

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\cdot(a\cdot \phi')^2 +m\cdot g \cdot a \cos(\phi)-\frac{1}{2}m\cdot a^2 \cdot \sin^2(\phi) \cdot \omega^2

\frac{d}{dt}\mathcal{L}\left( \frac{\partial L}{\partial \phi'}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi'} = m\cdot a^2 \phi'

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m\cdot g\cdot \sin(\phi) -m\cdot a^2\cdot \omega^2 \cdot \sin(\phi)\cdot \cos(\phi)

\frac{d}{dt}\left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi'}\right) = m\cdot a^2 \cdot \phi''

m\cdot a^2 \cdot \phi'' =-m\cdot g \cdot a \sin(\phi)- m\cdot a^2\omega^2 \cdot \sin(\phi)\cdot \cos(\phi)

\phi'' +\frac{g}{a}\cdot \sin(\phi) + \omega^2 \sin(\phi)\cdot \cos(\phi) =0.

\phi''=0

Stąd

\frac{g}{a}\cdot \sin(\phi) +\omega^2\cdot \sin(\phi)\cdot \cos(\phi) =0

\frac{g}{a}\pm \omega^2\cos(\phi) = 0

\sin(\phi) = 0, \ \ \phi = 0, \ \ \phi = \pi \ \ (*)

\phi = \pm \arccos\left( \frac{g}{a\cdot \omega^2}\right)

0< \frac{g}{a\cdot \omega^2}\leq 1

\omega \geq \sqrt{\frac{g}{a}}

Dla

\phi = 0 \ \ \sin(\phi )= 0, \ \ \cos(\phi) = 1

\phi = \pi \ \ \sin(\phi) = 0. \ \ \cos(\phi) = -1.

\phi'' + \frac{g}{a}\cdot \phi = \omega^2\cdot \phi

\phi'' + \left( \frac{g}{a}- \omega^2\right )\cdot \phi = 0

\frac{g}{a}-\omega^2 \geq 0 \rightarrow \omega \leq \sqrt{\frac{g}{a}} przypadek stabilności

\frac{g}{a} - \omega^2 <0 \rightarrow  \omega >\sqrt{\frac{g}{a}} - przypadek niestabilności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 16:01 
Użytkownik

Posty: 6163
Lokalizacja: Staszów
Ale ta część dyskusji winna być skierowana do zadającej pytanie Kaffoux.
Ja zauważyłem to, że koralik nie zajmie położenia na poziomej osi wirującego pierścienia bez względu na miarę prędkości kątowej, i to, że jeżeli przy jakiejkolwiek prędkości kątowej pierścienia znajdzie się z jakichkolwiek przyczyn w najniższym punkcie pierścienia to ruch obrotowy pierścienia nie spowoduję zmiany jego położenia na pierścieniu.
Jeżeli wiemy, że równanie równowagi układu jest rozwiązaniem równania Lagrange`a I- rodzaju, to możemy jego rozwiązanie napisać wprost jako równanie równowagi trzech sił: ciężkości koralika mg , dośrodkowej prostopadłej do osi obrotu pierścienia m \omega ^2 r \sin \varphi i reakcji R pierścienia mającej kierunek promienia pierścienia.
Rozwiązaniem jest ostanie równanie w poście pana kerajsa
Dyskusja tego równania pozwala zauważyć to, o czym pisałem wcześniej.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ruch obrotowy - zadanie 10  kamil94  10
 Ruch obrotowy - zadanie 18  Loonger  1
 ruch obrotowy - zadanie 9  przemekx16  8
 Ruch obrotowy - zadanie 5  sunny_mariel  1
 ruch obrotowy - zadanie 3  marcin2447  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl