szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 10:55 
Użytkownik

Posty: 196
Lokalizacja: Siedliska
Załóżmy, że funkcje f, \ g mają funkcje pierwotne na pewnym przedziale. Czy z tego wynika, że funkcja f \cdot g ma funkcję pierwotną na tym przedziale?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 11:14 
Administrator

Posty: 24570
Lokalizacja: Wrocław
TorrhenMathMeth napisał(a):
Bo rozumiem, że funkcja f(x)=\frac{1}{x} dla liczb ujemnych nie ma funkcji pierwotnej?

A skąd ten odważny wniosek?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 11:19 
Użytkownik

Posty: 196
Lokalizacja: Siedliska
Wycofałem się z tego. Chwila zaćmienia to spowodowała :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 maja 2019, o 21:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6669
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Jan Kraszewski, pewnie zapomniał o module
pamiętając o dziedzinie
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 maja 2019, o 02:02 
Użytkownik

Posty: 1687
Lokalizacja: Sosnowiec
Mam pewną propozycję na kontrprzykład do tego zadania, ale nie potrafię dociągnąć dowodu do końca i nie jestem pewien, czy faktycznie jest to dobry kontrprzykład. Może ktoś mądrzejszy da radę.

Niech f(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \sin\left( \frac{1}{x^2}\right)\right| dla x\neq 0. Niech F_1, F_2 oznaczają pewne funkcje pierwotne do funkcji f odpowiednio na przedziałach (-\infty,0) oraz (0,\infty). Potrafię udowodnić, że F_1 ma granicę prawostronną w zerze, a F_2 ma granicę lewostronną w zerze. Można więc "skleić" te funkcje i uzupełnić wartość w zerze tzn. istnieje funkcja ciągła F:\RR\rightarrow\RR taka, że \left( F|_{(-\infty,0)}\right)'=f |_{(-\infty,0)} oraz \left( F|_{(0,\infty)}\right)'=f |_{(0,\infty)}. Jedyne, czego nie potrafię udowodnić i nie jestem pewien że to prawda, to że F jest różniczkowalna w zerze.

Analogicznie definiuję g(x)=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\left| \cos\left( \frac{1}{x^2}\right)\right| dla x\neq 0 i wydaje mi się, że można tu zastosować podobną procedurę, chociaż tego akurat nie przeliczyłem.

Funkcje f i g można rozszerzyć przyjmując w zerze wartości pochodnych (o ile faktycznie te funkcje pierwotne są różniczkowalne w zerze). Wówczas funkcja f\cdot g ma wzór \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| dla x\neq 0 i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 14:11 
Użytkownik

Posty: 196
Lokalizacja: Siedliska
matmatmm napisał(a):
Wówczas funkcja f\cdot g ma wzór \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| dla x\neq 0 i niezależnie od wartości w zerze potrafię udowodnić, że nie ma ona funkcji pierwotnej.


Hmmm, no dobrze, ale ta funkcja jest ciągła na całym \mathbb{R} z wyjątkiem skończonej ilości punktów, a dokładnie z wyjątkiem 0, zresztą nawet nie jest tam określona. Skoro zatem jest ciągła to na pewno ma funkcję pierwotną.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 maja 2019, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 1687
Lokalizacja: Sosnowiec
Przeczytaj uważnie. Ja tę funkcję rozszerzam na całe \RR tzn. określam dodatkowo wartość w zerze. Po takim rozszerzeniu nie jest ciągła w zerze i nie ma funkcji pierwotnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 16:16 
Użytkownik

Posty: 196
Lokalizacja: Siedliska
Dlaczego? Jak to pokazać?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 maja 2019, o 16:31 
Użytkownik

Posty: 1687
Lokalizacja: Sosnowiec
Trzeba pokazać, że

\lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=+\infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 maja 2019, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 196
Lokalizacja: Siedliska
A to z kolei czemu udowadnia brak funkcji pierwotnej? Wybacz że nie wierzę na słowo ale nauczyłem się poddawać w wątpliwość takie rzeczy.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 17 maja 2019, o 13:50 
Użytkownik

Posty: 1687
Lokalizacja: Sosnowiec
Oznaczmy przez G funkcję pierwotną do x\mapsto \left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| na zbiorze (0,1] (istnieje bo ta funkcja jest ciągła).

Przypuśćmy, że f\cdot g (uzupełniona o wartość w zerze, czyli określona na całym \RR) ma funkcję pierwotną H. Wówczas

H|_{(0,1]}=G +c dla pewnej stałej c\in\RR. Dalej mamy


+\infty=\lim_{u\to 0^{+}}\int\limits_u^1\left| \frac{1}{2x}\sin\left( \frac{2}{x^2}\right) \right| \dd x=\lim_{u\to 0^{+}}\left( G(1)-G(u)\right)=\lim_{u\to 0^{+}}\left( H(1)-H(u)\right)=H(1)-\lim_{u\to 0^{+}}H(u)

Jest to sprzeczność z tym, że H jest ciągła w zerze.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Całki funkcji trygonometrycznych -POMOCY!!!  Anonymous  2
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 Całka z funkcji niewymiernych??  Anonymous  1
 Całka funkcji wymiernej  metamatyk  7
 Calka funkcji niewymiernej z e^x  pawelek  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl