szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 maja 2019, o 21:54 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Cześć, w temacie 440772.htm rozwiązywałem równanie rekurencyjne.
Wynikiem tego równania było:
G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(5\cdot 4^n-5\cdot 3^n)x^n dla |x|<\frac 1 4
Wiem że wynikiem zadania będzie odpowiedź T(n) = 5\cdot 4^n-5\cdot 3^n Ale zastanawiam się jak do tego dojść, jakie jest twierdzenie matematyczne które rozwiązuje to równanie tworzącej w postać zwartą? Znalazłem że korzysta się z rozwinięcia równania tworzącej w szereg potęgowy. Natomiast słyszałem o coś o wielomianach nieskończonych które tworzą sumę szeregów i dlatego można jakoś je tak przedstawić. Zdaje sobie sprawę z tego że to o czym słyszałem mogłem źle zapamiętać albo zrozumieć, dlatego proszę o pomoc. Jak się dzieje że z rozwinięcia równania tworzącej mogę znaleźć postać zwartą.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 maja 2019, o 22:12 
Użytkownik

Posty: 1094
Lokalizacja: Górnicza Dolina
Funkcja tworząca to nic innego jak G(x)= \sum_{k=1}^{ \infty } a_nx^n
Jak sobie przyrównasz te szeregi to otrzymasz wzór na a_n. Chyba, że nie zrozumiałem Twojego pytania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 maja 2019, o 22:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13982
Lokalizacja: Wrocław
To wynika z definicji funkcji tworzącej (funkcją tworzącą ciągu (a_n)_{n=0}^{\infty} jest G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n) i z jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy wokół ustalonego punktu (tutaj wokół zera). Tj. jeśli w pewnym otoczeniu punktu x_0 są określone zbieżne szeregi potęgowe \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n, \ \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n i w tymże otoczeniu zachodzi \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n= \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n, to (\forall n\in \NN)a_n=b_n
Można to udowodnić, różniczkując odpowiednio wiele razy (szeregi potęgowe wewnątrz przedziału zbieżności różniczkuje się wyraz po wyrazie) i wstawiając x:=x_0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 maja 2019, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Polska
Dziękuje Premislav, jeszcze raz za pomoc :) :oops:
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje tworzące - zamiana w szereg potęgowy  emperor2  2
 rozwiniecie funkcji w szereg - zadanie 3  kriegor  3
 postać zwarta ciągu + f. tworzące  anders90  7
 Funkcje Potęgowe. Ile jest funkcji...  AndreaCorelli  1
 Funkcje częściowe  myky  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl