szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2019, o 13:14 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Tarnów
Czy pomógłby mi ktoś w udowodnieniu tej nierówności?
Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich m,n zachodzi:
\frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}  \le  \frac{m!}{m^m}  \frac{n!}{n^n}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 maja 2019, o 13:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13692
Lokalizacja: Wrocław
Ustalmy dowolne m\in \NN^+ i przeprowadźmy indukcję po n\in \NN^+.

1^{\circ} Dla n=1 mamy wykazać, że:
\frac{(m+1)!}{(m+1)^{m+1}} \le \frac{m!}{m^m} \ (*)
Oczywiście (m+1)!=(m+1)\cdot m!, więc skracamy, co się da, mnożymy przez mianowniki i mamy równoważną nierówność:
m^m\le (m+1)^m\\ m\le m+1
co jest oczywiste. Z uwagi na równoważność przekształceń nierówność (*) jest prawdziwa.

2^{\circ} Przypuśćmy, że dla pewnego n\in \NN^+ zachodzi nierówność
\frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}
Wówczas
\frac{(m+n+1)!}{(m+n+1)^{m+n+1}}= \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}\cdot \left(  \frac{m+n}{m+n+1} \right)^{m+n}\le \\ \le  \frac{m!n!}{m^mn^n}\left( \frac{m+n}{m+n+1}\right)^{m+n}
i wystarczy wykazać, że
\frac{m!n!}{m^mn^n}\left( \frac{m+n}{m+n+1}\right)^{m+n}\le  \frac{m!}{m^m} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}
a równoważnie:
\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\le\left( 1+\frac{1}{m+n}\right)^{m+n} \ (\heartsuit)
Ale z nierówności Bernoulliego mamy:
\left( 1+\frac{1}{m+n}\right)^{\frac{m+n}{n}}\ge 1+\frac{1}{m+n}\cdot \frac{m+n}{n}=1+\frac 1 n
i podnosząc tę nierówność stronami do potęgi n, dostajemy (\heartsuit).
To kończy dowód kroku indukcyjnego.
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej uzyskaliśmy, że dla dowolnie ustalonego m\in \NN^+, dla każdego n\in \NN^+ zachodzi nierówność \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m} \frac{n!}{n^n}, czyli teza zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 09:03 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Tarnów
Premislav, Chciałem się zapytać z jakiego źródła pochodzi ten dowód ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 09:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13692
Lokalizacja: Wrocław
math196, z mojej żałosnej, tępej, pustej głowy. Pewne (niewielkie wszak) podobieństwo do LX/I/11 z polskiej Olimpiady Matematycznej sugeruje mi, że powinien też być wykonalny nieindukcyjny dowód ze sprytnym zastosowaniem nierówności między średnimi, ale nie udało mi się takowego wymyślić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 10:27 
Użytkownik

Posty: 13
Lokalizacja: Tarnów
Premislav, A wiesz jak obliczyć pole powierzchni po krzywej |x|^a+|y|^a=1, gdzie wyliczamy y i całkujemy względem jednej ćwiartki ze względu na symetrię ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 10:32 
Administrator

Posty: 24574
Lokalizacja: Wrocław
math196 napisał(a):
Premislav, A wiesz jak obliczyć pole powierzchni po krzywej |x|^a+|y|^a=1, gdzie wyliczamy y i całkujemy względem jednej ćwiartki ze względu na symetrię ?

440803.htm

Nie rób crossoverów! Jak chcesz zapytać, zawsze możesz napisać PW.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 maja 2019, o 16:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1492
Lokalizacja: Katowice
dla dowolnych x,y prawdą jest, że (x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} {m+n \choose k}x^ky^{m+n-k}

gdy x,y są nieujemne to po opuszczeniu niektórych składników sumy stojącej po lewej otrzymujemy (x+y)^{m+n} = \sum_{k=0}^{m+n} {m+n \choose k}x^ky^{m+n-k} \ge {m+n \choose m}x^my^n

podstawmy x=m oraz y=n, otrzymujemy

(m+n)^{m+n} \ge {m+n \choose m}m^mn^n = \frac{(m+n)!}{m!n!}m^mn^n, zatem \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}} \le \frac{m!}{m^m}\cdot \frac{n!}{n^n}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij nierówność - zadanie 2  Pshczoolka  1
 Udowodnij nierówność - zadanie 5  Lee  7
 Udowodnij nierówność - zadanie 6  dora  5
 udowodnij nierówność - zadanie 7  Iwka  6
 Udowodnij nierowność  Aramil  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl