szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Rzucamy kostką
PostNapisane: 12 maja 2019, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 2358
Lokalizacja: Kraków
Rzucamy kostką do momentu uzyskania dwójki oraz trójki (łącznie, niekoniecznie pod rząd). Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy więcej niż piętnaście razy?

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Prawdopodobieństwo z zadania równe jest temu, że podczas pierwszych piętnastu rzutów będą wypadały dwójki w dowolnej liczbie, ale nie wypadnie ani razu trójka lub odwrotnie. Prawdopodobieństwo, że nie wypadnie, ani razu dwójka, ani trójka jest równe \left( \frac{2}{3} \right)^{15}. Prawdopodobieństwo, że wypadnie jedna dwójka i ani razu trójka wynosi {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}. Prawdopodobieństwo, że wypadną dwie dwójki i ani razu trójka wynosi {15 \choose 2} (\frac{1}{6})^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13} i tak dalej. Analogiczne prawdopodobieństwa dla wyrzuconych trójek przy warunku, że nie wypadnie ani razu dwójka są takie same, zatem prawdopodobieństwo o które chodzi w zadaniu wynosi:
\left( \frac{2}{3} \right)^{15}+2 \left( {15 \choose 1} \frac{1}{6}\left( \frac{2}{3} \right)^{14}+{15 \choose 2} \left( \frac{1}{6} \right) ^2\left( \frac{2}{3} \right)^{13}+...+ {15 \choose 15}\left( \frac{1}{6} \right)^{15}\right)

Czy tak jest dobrze?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 maja 2019, o 20:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 477
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
A nie wygodniej po prostu powiedzieć, że prawdopodobieństwo tego, że wypadnie ani razu trójka jest równe \left(\frac{5}{6}\right)^{15}? Wtedy wynik to będzie 2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{15}-\left(\frac{2}{3}\right)^{15} (musimy odjąć prawdopodobieństwo tego, że nie wypadnie ani dwójka, ani trójka, bo policzyliśmy je dwukrotnie - zasada włączeń i wyłączeń tak naprawdę).

Za pomocą wzoru dwumianowego Newtona łatwo się przekonasz, że Twój wynik jest taki sam jak to co ja napisałem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 12 maja 2019, o 21:03 
Użytkownik

Posty: 2358
Lokalizacja: Kraków
No faktycznie! Mądre to jest. Nie zauważyłem tego na początku. Faktycznie zgadza się to też z tym co Ty napisałeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rzucamy kostką - zadanie 2  vip100  3
 Rzucamy kostką  fidusss  1
 rzucamy kostka  kkuubbaa88  1
 Rzucamy kostką - zadanie 5  Wojtis19  4
 Rzucamy kostką - zadanie 3  Kaef  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl