szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
 Tytuł: Model Verhulsta
PostNapisane: 10 maja 2019, o 13:26 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Szczecin
Witam,mam do przeanalizowania model Verhulsta i nie wiem czy do końca dobrze wyciągam wnioski.
Czy zgadzacie się z moimi obliczeniami :)?
Model jest postaci
N'(t)=rN(t)\left[ 1-\frac{N{t}}{K}\right]
,gdzie:
r - współczynnik rozrodczości populacji,
K- pojemność środowiska.

Korzystając z metody zmiennych rozdzielonych, dostajemy rozwiązanie naszego równania postaci
N(t)=\frac{N_0Ke^{rt}}{K+N_{0}\left( e^{rt}-1\right) }.

Dalej, obliczamy punkty krytyczne
0=rN\left[ 1-\frac{N}{K}\right].
Wówczas otrzymujemy N=0 \wedge N=K.

https://zapodaj.net/036a6270dce61.png.html

W powyższym linku można znaleźć wykres funkcji f(N)=rN\left[ 1-\frac{N}{K}\right] oraz portret fazowy.
Z wykresu funkcji wiemy, że:
N'(t)>0 dla N<K czyli populacja wzrasta, ale może powiększyć się tylko do pojemności środowiska K.

N'(t)<0 dla N>K czyli populacja maleje po tym jak osiąga pojemność środowiska.

Dzięki portretowi fazowego, możemy zauważyć, że wszystkie rozwiązania zbiegają do punktu K. Czy możemy powiedzieć, że jest on asymptotycznie stabilny?

Aby dokładniej przeanalizować nasz model, obliczamy drugą pochodna, która jest równa
N''(t)=rN'(t)\left[ 1-\frac{2N(t)}{K}\right].

Przyrównując drugą pochodną do zera, otrzymujemy
N=\frac{K}{2}.
Ponieważ przyrównując naszą drugą pochodną do zera mieliśmy, że N jest ujemne (0=1-\frac{2N}{K}). Zaczynamy więc rysowanie szkicu naszej pochodnej od dołu. Dostajemy wówczas, że:
- dla N_0 \in (0,\frac{K}{2}) funkcja jest wypukła.

Ostatecznie obliczając przebieg zmienności funkcji f(N) otrzymujemy:
- dla N_0 \in (0,\frac{K}{2}) otrzymujemy funkcję rosnącą i wypukłą,
- dla N_0 \in (\frac{K}{2},K) otrzymujemy funkcję rosnącą i wklęsłą,
- dla N_0 \in (k,+ \infty ) otrzymujemy funkcję malejącą i wklęsła.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Kobieta
 Tytuł: Model Verhulsta
PostNapisane: 19 maja 2019, o 18:01 
Użytkownik

Posty: 5
Lokalizacja: Szczecin
Chyba coś na końcu jest źle...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Model silnika prądu stałego - diagram fazowy  pion3k  0
 model ekonomiczny - Jak to ugryźć  sciaga001  8
 Model Malthusa  gms  2
 Model Lotki - Volterry  acmilan  2
 Równanie różniczkowe cząstkowe (chromatografia - model)  Ptaq666  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl