szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 9 maja 2019, o 23:56 
Użytkownik

Posty: 81
Lokalizacja: Poznań
Jak rozwiązać takie równanie różniczkowe:
y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }

Jakaś metoda?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 maja 2019, o 01:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13900
Lokalizacja: Wrocław
Patrz „równanie Clairauta". Zróżniczkujmy to równanie stronami po x. Otrzymujemy:
y'-y'-y'' x= a\frac{y''\sqrt{1+(y')^2}-\frac{(y' )^2y''}{\sqrt{1+(y')^2}}}{1+(y')^2}\ -y'' x=a\cdot  \frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}
Stąd (choć to trochę śliskie, bo można się zastanawiać, czy można skleić na różnych przedziałach rozwiązania z tych przypadków tak, aby były dwukrotnie różniczkowalne; to jednak przerasta na tę chwilę moje umiejętności)
y''=0 \vee -x=\frac{a}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}
Pierwszy przypadek prowadzi do y=C_1 x+C_2, zajmiemy się teraz drugim:
-x=\frac{a}{(1+(y')^2)^{\frac 3 2}}\left( 1+(y')^2
\right)^{\frac 3 2}=-\frac a x\y'(x)=\pm \sqrt{\left( -\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}
Teraz całkujemy stronami. Trzeba by, po podstawieniu x=-at, wyznaczyć całkę
-a\int_{}^{} \sqrt{t^{-\frac 2 3}-1 }\,\dd t
Wybacz, ale nie mam ochoty obliczać tej całki (patrz całkowanie różniczki dwumiennej: 33970.htm),
wolfram „powiedział" mi, że jest ona równa
-a \sqrt{t^{-\frac 2 3}-1} \left( t-t^{\frac 1 3}
\right) +C, a więc po powrocie do zmiennej x mamy
y=\mp a\sqrt{\left(-\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}\left( -\frac x a-\left( -\frac x a
\right)^{\frac 1 3} 
\right)  
\right)+C

Na koniec trzeba jeszcze wykonać sprawdzenie, podstawiając otrzymane potencjalne rozwiązania do pierwotnego równania.
1) sprawdzamy, które funkcje postaci y=C_1 x+C_2 są rozwiązaniami równania
y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }
Podstawiając do tego równania y=C_1 x+C_2, mamy
C_2= \frac{aC_1}{ \sqrt{1+C_1^2}}, czyli w tym przypadku pasują funkcje postaci
y=C_1 x+\frac{a C_1}{\sqrt{1+C_1^2}},  C_1\in \RR

2) sprawdzamy, które funkcje postaci
y=\mp a\sqrt{\left(-\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}\left( -\frac x a-\left( -\frac x a
\right)^{\frac 1 3} 
\right) 
\right)+C
są rozwiązaniami równania
y-y'x=a \frac{y'}{ \sqrt{1+(y')^{2}} }
To już Ci zostawiam, ponieważ pewnie i tak pomyliłbym się w obliczeniach, warto od razu korzystać tu z wcześniej uzyskanego w tym przypadku y'(x)=\pm\sqrt{\left( -\frac a x
\right)^{\frac 2 3}-1}, zamiast różniczkować to szkaradzieństwo.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie różniczkowe nieliniowe  slonko019  6
 równanie różniczkowe nieliniowe - zadanie 2  kelezor  2
 równanie rózniczkowe nieliniowe  white09  0
 Równanie różniczkowe nieliniowe - zadanie 3  ghuthle  0
 równanie różniczkowe nieliniowe - zadanie 4  kolegasafeta  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl