szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 9 maja 2019, o 18:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: wrocław
Udowodnić, że następujące równanie z niewiadomą funkcją u ma dokładnie jedno rozwiązanie.
u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds ~dla~ u \in C[0,1]
Wiem, że należy skorzystać z tw.Banacha o odwz.zwężającym, ustalić operator F(u)(t)=u(t)=\cos (t) + \int_{0}^{t} 0.4 \cdot \sin (t+s)u(s)ds oraz normę. Jaką normę należy wybrać w tym przypadku i dlaczego?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 9 maja 2019, o 19:38 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8340
Lokalizacja: Wrocław
Normę supremum, bo dla takiej odwzorowanie F będzie zwężające.

Niech u, v \in C[0, 1]. Dla każdego t \in [0, 1] mamy

$ \begin{align*} 
| F(u)(t) - F(v)(t) | & = \left| \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) u(s) \, \dd s - \int \limits_0^t 0.4 \sin(t+s) v(s) \, \dd s \right| \\
& =  0.4 \left| \int \limits_0^t \sin(t+s) \big( u(s) - v(s) \big) \, \dd s \right| \\
& \le 0.4 \int \limits_0^t | \sin(t+s) | \cdot |u(s) - v(s)| \, \dd s \le 0.4 \cdot t \cdot 1 \cdot \| u - v \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty}
\end{align*} $

zatem \| F(u) - F(v) \|_{\infty} \le 0.4 \| u - v \|_{\infty}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy funkcja spełnia równania Cauchy-Riemanna (potrzebne z  Kubson112  2
 Rozwiazanie numeryczne transformaty Laplace'a  okume  3
 Wyznaczanie równania plaszczyzny stycznej  jajac  1
 Udowodnić ,że granica nie istnieje F(x,y)  pulpet666  1
 pochodna funkcji, rozwiązanie równania  monna  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl