szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 maja 2019, o 19:55 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Poznań
Dane są punkty A=(2,2,0), B=(2,0,2), C=(0,2,2). Niech \pi będzie płaszczyzną przechodzącą przez te punkty.
a) Napisać równanie parametryczne płaszczyzny \pi.
b) Napisać równanie ogólne płaszczyzny \pi.
c) Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do płaszczyzny \pi.
d) Obliczyć odległość płaszczyzny \piod początku układu współrzędnych.

Moja próba
b)
Korzystam z:
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

A-B= (0,2,-2) \\
 B-C= (2,-2,0) \\
 AB \times BC = (2 \cdot 0-(-2) \cdot (-2);-2 \cdot 2-0 \cdot 0;0 \cdot (-2)-2 \cdot 2)=(-4;-4;-4)

Równanie:
-4(x-2)-4(y-2)-4(z-0)=0 \  /:4 \\
 -x+2-y+2-z=0 \\
 -x-y-z+4=0  \cdot (-1) \\
 x+y+z-4=0

Czy jest to zrobione dobrze?
Jest to ostatnie zadanie którego muszę się nauczyć a nie mogę znaleźć podobnych przykładów, mógłby ktoś pokazać jak zrobić pozostałe podpunkty?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 maja 2019, o 20:54 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18610
Lokalizacja: Cieszyn
Skoro punkty A,B,C spełniają to równanie, a istotnie przedstawia ono płaszczyznę, to wynik masz dobry. A z dokładnością do oznaczeń (odpowiednich wektorów) rozwiązanie masz dobre.

Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 maja 2019, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 4776
a)
Wybieramy punkt na przykład A i określamy współrzędne dwóch wektorów kierunkowych płaszczyzny \vec{AB}, \ \  \vec{AC}

Równanie parametryczne płaszczyzny:

\pi: (x,y,z) = A + s\cdot \vec{AB} + t\cdot \vec{AC}, \ \ s,  t\in \RR.

b)
Metoda Twoja jest dobra.

Zazwyczaj obliczamy współrzędne wektorów rozpinających płaszczyznę - wychodzących z jednego punktu na przykład z punktu A

\vec{AB} = B - A , \ \  \vec{AC}= C - A,

ale niekoniecznie.

c)
Wektor kierunkowy prostej jest równoległy do wektora prostopadłego płaszczyzny.

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt A(2,2,0) i prostopadłej do płaszczyzny \pi

l:  \frac{x -2}{-4} = \frac{y -2}{-4} = \frac{z-0}{-4}.

d)

Metoda I

Z odległości punktu od płaszczyzny

d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 +B^2 +C^2}} \ \ (2)

Metoda II

Sprowadzając równanie ogólne płaszczyzny do postaci normalnej

x\cdot \cos(\alpha) + y\cdot  \sin(\beta) + z\cdot \cos(\gamma) -p =0

d= |p|

Otrzymujemy ten sam wzór (2).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 maja 2019, o 00:57 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Poznań
janusz47 napisał(a):
a)
Wybieramy punkt na przykład A i określamy współrzędne dwóch wektorów kierunkowych płaszczyzny \vec{AB}, \ \  \vec{AC}

Równanie parametryczne płaszczyzny:

\pi: (x,y,z) = A + s\cdot \vec{AB} + t\cdot \vec{AC}, \ \ s,  t\in \RR.


d)

Metoda I

Z odległości punktu od płaszczyzny

d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 +B^2 +C^2}} \ \ (2)

Metoda II

Sprowadzając równanie ogólne płaszczyzny do postaci normalnej

x\cdot \cos(\alpha) + y\cdot  \sin(\beta) + z\cdot \cos(\gamma) -p =0

d= |p|

Otrzymujemy ten sam wzór (2).


a)
\vec{AB} = [0,-2,2] \\
 \vec{AC} = [-2,-0,2]

x=2+0t-2s \\
 y=2-2t+0s \\
 z=0+2t+2s

x=2-2s \\
 y=2-2t \\
 z=2t+2s

Dobrze?

w d) Nie za bardzo wiem co gdzie podstawiać, czy A, B, C to (1,1,1)?
D=-4 ?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 7 maja 2019, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 4776
Równanie parametryczne poprawne.

d= \frac{|-4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 +1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}}= \frac{4\sqrt{3}}{3}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 Równanie kllepsydry.  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl