szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2019, o 15:54 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Rybnik
Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l1 : \frac{x}{1} = y -1 =  \frac{z+2}{3} oraz jest równoległa do prostej l2: x=y=\frac{z}{3}.
Prosze o pomoc, wydaję mi się, że muszę skorzystać z postaci parametrycznej tej pierwszej prostej, a prosta i płaszczyzna będą równoległe jeżeli iloczyn skalarny wektora normalnego płaszczyzny i wektora kierunkowego prostej będzie równy 0. Ale co dalej?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2019, o 18:51 
Użytkownik

Posty: 4735
Zauważmy, że proste l_{1}, l_{2} są równoległe, bo mają ten sam wektor kierunkowy [1, 1, 3].

Aby napisać równanie płaszczyzny wyznaczonej przez te proste, obieramy na przykład na prostej l_{1} punkt P_{1}( 0, 1, -2), a następnie przez ten punkt i prostą l_{2} prowadzimy płaszczyznę.

Metoda I

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt P_{1}(0,1,-2) więc jej równanie ma postać

(1) \ \  A(x -0) + B(y-1) + C(z+2) = 0, \ \  A^2 +B^2 +C^2 >0.

Ponieważ szukana płaszczyzna przechodzi przez przez prostą l_{2} to punkt P_{2}(0, 0, 0 ) tej prostej musi leżeć na płaszczyźnie (1) i musi ona być równoległa do prostej l_{2}

(2) \ \  A(0 - 0) + B(0-1) +C( 0+2) = 0

(3) \ \ A\cdot 1 +B\cdot 1 + C\cdot 3 =0.

Traktujemy układ równań (1)-(3) jako układ jednorodny trzech równań liniowych o niewiadomych A, B, C.

Układ ten posiada rozwiązania niezerowe. W takim razie wyznacznik charakterystyczny tego układu musi być równy zeru.

(4) \ \ \left| \begin{matrix} x -0 & y-1& z+2 \\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} \right |= 0.

Po rozwinięciu tego wyznacznika na przykład według drugiego wiersza i uproszczeniach, otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny

5x -2y - z = 0.

Metoda II

Sprowadzamy najpierw prostą l_{2} do postaci krawędziowej

l_{2}: \begin{cases} x - y  = 0 \\ 3y - z  = 0 \end{cases}

Piszemy równanie pęku prostych przesuniętych przez prostą l_{2}

(5) \ \  x - y  + k( 3y - z ) = 0

Ponieważ płaszczyzna (5) przechodzi przez punkt P_{1}(0, 1,-2), to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie (5).

Otrzymujemy w ten sposób równanie na wartość parametru k

0 - 1  +k( 3\cdot 1 +2 ) = 0

-1 +5k = 0, \ \ k = \frac{1}{5}.

Podstawiając k = \frac{1}{5} do równania (5), otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny

x - y +\frac{1}{5}(3y - z) = 0

5x -5y +3y -z = 0

5x - 2y - z = 0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 maja 2019, o 23:30 
Użytkownik

Posty: 16603
Lokalizacja: Bydgoszcz
Albo tak: wektory [1,1,3] oraz [0,1,-2 leżą w tej płaszczyżnie. Ich iloczyn wektorowy...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2019, o 13:37 
Użytkownik

Posty: 4735
Metoda III, którą podał Pan a4karo jest najkrótsza pod względem rachunkowym.

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny

[1,1,3] \times [0,1,-2] = [-5,  2, 1]

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P_{1}(0,1,-2)

-5(x -0) +2(x - 1) + 1\cdot (z -1) =0

5x -2y - z =0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 maja 2019, o 14:06 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Rybnik
Super! Dziękuję bardzo za pomoc.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kąt między prostą z punktu x,y a osią x bez użycia arctan  atff  1
 Równanie prostej przech. przez punkt i oddalonej od punktu  Peres  3
 Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez...  ccarolaa  1
 Prosta mająca najwięcej punktów wspólnych z krzywą  macias55  1
 Prosta przechodząca przez punkt, równoległa do wektora  kubako  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl