szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Wyznacz wartość oczekiwaną gdy funkcja w przedziale (−∞,+∞):

f(x)= \frac{7}{10} e^{\left-|  \frac{7x}{5} \right| }

x \in(−∞,+∞)
jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa.

Generalnie coś tam ogarniam z tego tematu, ale nie wiem jak ugryźć to zadanie, jak zacząć.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 14:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2136
Lokalizacja: hrubielowo
Z definicji wartość oczekiwana to:

\mathbb{E}X= \int_{- \infty }^{ \infty }xf(x) \mbox{d}x

Tu wygodniej jest rozbić to na:

\mathbb{E}X= \int_{- \infty }^{ 0 }xf(x) \mbox{d}x+\int_{0 }^{  \infty  }xf(x) \mbox{d}x

jako, że na tych przedziałach łatwo się można pozbyć wartości bezwzględnej co pozwoli już policzyć te całki.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 15:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13887
Lokalizacja: Wrocław
Ja bym proponował ominąć obliczenia (choć można i tak): dla funkcji f(x)=\frac 7 {10} e^{-\left|\frac{7x}{5}\right|} mamy f(-x)=f(x),
zatem
xf(x)=-((-x)f(-x)) (krótko mówiąc gęstość jest parzysta, więc funkcja podcałkowa, którą otrzymasz przy liczeniu wartości oczekiwanej będzie nieparzysta), a przedział jest symetryczny względem zera. Wystarczy więc uargumentować, że
\mathbf{E}(X)= \int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot \frac 7{10}e^{-\left|\frac{7x}{5}\right|}\,\dd x
jest zbieżna (można np. pokazać bezwzględną zbieżność), a natychmiast otrzymasz bez obliczeń, że jest równa 0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 15:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18608
Lokalizacja: Cieszyn
Premislav, Pozostaje jeszcze sprawdzenie czy istotnie podana funkcja jest gęstością.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 15:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13887
Lokalizacja: Wrocław
To mamy akurat w treści zadania, więc sprawdzać tego nie trzeba.
W każdym razie dla dowolnego \alpha\in\RR^+, \ \beta\in \RR mamy
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\alpha}{2}e^{-\alpha|x-\beta|} \,\dd x=1 (jak dobrze pamiętam, jest to funkcja gęstości rozkładu Laplace'a), tutaj \alpha=\frac{7}{5}, \ \beta=0.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 15:32 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18608
Lokalizacja: Cieszyn
Cytuj:
To mamy akurat w treści zadania, więc sprawdzać tego nie trzeba.


Z tym się wybitnie nie zgodzę. Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości f(x)=e^x. :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 15:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13887
Lokalizacja: Wrocław
Przyjmuję domyślny nośnik gęstości jako (-infty, 0) i obliczam int_{-infty}^{0}xe^x,dd x=-1. :D Nie no, racja, zawsze warto sprawdzać, czy treść zadania ma w ogóle sens, ponieważ zdarzają się takie kwiatki, jak tutaj:
440177.htm
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 kwi 2019, o 20:26 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Polska
Dziękuję bardzo wszystkim za pomoc :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wartość oczekiwana i wariancja rozkładu normalnego  Honey  1
 mediana, wartosc modalna  Anonymous  4
 Dobrać parametry, aby funkcja była dystrybuantą itd.  radek20_82  2
 Znaleźć wartość a taką aby funkcja była gęstością  regent chóru  1
 wartość średnia, średnia kwadratowa  amator  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl