szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 27 kwi 2019, o 10:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 18
Lokalizacja: Wrocław
Treść zadania: Mamy dwie niezależne zmienne losowe X i Y z rozkładu wykładniczego z parametrem 1. Wykaż, że X+Y i \frac{X}{Y} są niezależne.

Czyli X,Y \sim Exp \left( 1 \right) więc gęstości obu będą dane wzorem e^{-x}

Dystrybuanta \frac{X}{Y} zgodnie z następującym wzorem:

P \left(  \frac{X}{Y}  \le t \right)  =  \int_{- \infty }^{t} \int_{\mathbb{R}}^{} f_{1} \left( yx \right)  f_{2} \left( y \right)  y  \ dx  \ dy

wyjdzie
P \left(  \frac{X}{Y}  \le t  \right) =  \int_{0}^{t}  \int_{0}^{ \infty } e^{-yx} e^{-y} y \  dx \  dy= e^{-t} \left( t^2 + 2t +2 \right)  - 2

I następnie dystrybuanta X+Y zgodnie ze wzorem:

P \left( X+Y \le t \right)  =  \int_{- \infty }^{t} \int_{\mathbb{R}}^{}f_1 \left( x-y \right) f_2 \left( y \right)  \ dy \ dx
będzie równa ( i tu natrafiam na problem)
\int_{0}^{t}  \int_{0}^{ \infty }e^{- \left( x-y \right) }e^{-y}dy \ dx = \int_{0}^{t}  \int_{0}^{ \infty }e^{-x} \ dy \ dx

Więc wychodzi mi nieskończoność, a nie powinna, co robię źle?
Dziękuje za wszystkie odpowiedzi
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 kwi 2019, o 11:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13885
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
Czyli X,Y \sim Exp(1) więc gęstości obu będą dane wzorem e^{-x}

Niezupełnie. Raczej e^{-x}1{\hskip -2,5pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x).
Zatem ten splot też będzie wyglądał nieco inaczej:
\mathbf{P}(X+Y\le t)= \begin{cases}\int_{0}^{t} \int_{0}^{t-x}e^{-(x-y)}e^{-y}\,\dd y\,\dd x \text{ dla } t>0\\ 0 \text { dla }t\le 0\end{cases}

-- 27 kwi 2019, o 10:33 --

Oczywiście \mathbf{P}\left( \frac X Y\le t\right) też niepoprawnie wyznaczyłeś, gdybyś wziął t\rightarrow +\infty, to byś zię zorientował, że Twoja funkcja:
Cytuj:
e^{-t}(t^2 + 2t +2) - 2

nie spełnia definicji dystrybuanty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowod: niezaleznosc zdarzen przeciwnych  Anonymous  3
 Określenie sumy i iloczynu wylosowanych liczb  blado  5
 Rozkład zmiennych losowych - zadanie 3  pancerny  4
 Ciąg zmiennych losowych o rozkładzie gamma  gienia  5
 Gęstość zmiennych losowych  Nesquik  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl