szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 24 kwi 2019, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Wrocław
a) F(s)= \frac{9}{( s^{2}+9) ^{2}  }
b) F(s)= \frac{s^{2}-1}{( s^{2}+1) ^{2}  }
c)F(s)= \frac{s^{2}}{( s^{2}+4) ^{2}  }

Musimy znaleźć funkcję oryginalną (L^{-1}[F(s)])
Proszę o pomoc :wink:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 kwi 2019, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 47
Lokalizacja: Radomsko
Rozłożyć na ułamki proste (a jest już ułamkiem prostym) a następnie skorzystać z tablicy transformat.
Góra
Kobieta
PostNapisane: 24 kwi 2019, o 20:53 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Wrocław
nie jest to takie oczywiste, trzeba skorzystać z różniczki z tego co zostało mi podpowiedziane. Chciałabym bardziej konkretnej pomocy :(
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 24 kwi 2019, o 22:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
a)
Ze znanych wzorów mamy:
\mathcal{L}\left\{ \sin(3t)\right\}=\frac{3}{s^2+3^2}{\red=} \int_{0}^{+\infty} \sin(3t) \ e^{-st}\,\dd t
Czerwoną równość różniczkujemy po s (prawą stronę z twierdzenia Leibniza o różniczkowaniu pod znakiem całki) i dostajemy:
-\frac{6s}{(s^2+9)^2}=- \int_{0}^{+\infty}t\sin(3t) \ e^{-st}\,\dd t\\\frac{6s}{(s^2+9)^2}= \int_{0}^{+\infty}t\sin(3t) \ e^{-st}\,\dd t \ (*)
Teraz prawą stronę całkujemy przez części w taki oto sposób:
również całkując przez części, mamy
\int_{}^{} t\sin(3t)\,\dd t=-\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 3 \int_{}^{} \cos(3t)\,\dd t=\\=-\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)+C
Następnie wracając do (*), możemy więc napisać:
\int_{0}^{+\infty}t\sin(3t) \ e^{-st}\,\dd t= \int_{0}^{+\infty}\left( -\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)\right)' e^{-st}\,\dd t=\\=\left[ \left( -\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)\right)e^{-st} \right]\bigg|^{t\rightarrow +\infty}_{t=0}+s \int_{0}^{+\infty}\left( -\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)\right) e^{-st}\,\dd t=\\=s \int_{0}^{+\infty}\left( -\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)\right) e^{-st}\,\dd t
czyli
\frac{6s}{(s^2+9)^2}=s\int_{0}^{+\infty}\left( -\frac 1 3 t\cos(3t)+\frac 1 9\sin(3t)\right) e^{-st}\,\dd t,
dzielimy to stronami przez \frac 2 3 s i dostajemy:
\frac{9}{(s^2+9)^2}=\int_{0}^{+\infty}\left( -\frac 1 2 t\cos(3t)+\frac 1 6\sin(3t)\right) e^{-st}\,\dd t
i z tego, że transformata Laplace'a jest 1-1, dostajemy, że
\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{9}{(s^2+9)^2} \right\} =-\frac 1 2 t\cos(3t)+\frac 1 6\sin(3t)

Podpunkty b) i c) pewnie podobnie, nie chce mi się tego rozpisywać i tyle. Być może da się to zrobić łatwiej, jak się coś zauważy, ale ja nie jestem specjalnie spostrzegawczy.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 30 kwi 2019, o 14:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6685
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
sdd1975 napisał(a):
Rozłożyć na ułamki proste (a jest już ułamkiem prostym) a następnie skorzystać z tablicy transformat.


Rozkład na sumę ułamków prostych miałby sens
gdyby rozkładać nad zespolonymi bo tam mianownik można jeszcze rozłożyć

Nad rzeczywistymi pozostaje twierdzenie Borela o splocie
albo różniczkowanie obrazu
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 1 maja 2019, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 4787
b)

F(s) = \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}

Przedstawiamy równanie transformaty w postaci iloczynu dwóch transformat

F(s) = \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2} = \frac{(s- 1)(s+1)}{(s^2 +1)^2} = \frac{ s-1}{s^2+1}\cdot \frac{s+1}{s^2 +1} = F_{1}(s)\cdot F_{2}(s).

Znajdujemy oryginały tych dwóch transformat

L^{-1}\left[ F_{1}(s)\right]  = L^{-1}\left [\frac{s-1}{s^2+1}\right] =L^{-1}\left [\frac{s}{s^2+1}\right]  - L^{-1}\left [\frac{1}{s^2+1}\right] = \cos(t) - \sin(t) =\\= f_{1}(t)

L^{-1}\left[ F_{2}(s)\right] = L^{-1}\left [\frac{s+1}{s^2+1}\right] =L^{-1}\left [\frac{s}{s^2+1}\right]  + L^{-1}\left [\frac{1}{s^2+1}\right] = \cos(t) + \sin(t) = \\ = f_{2}(t)

Stosujemy twierdzenie o splocie dla transformacji odwrotnej

L^{-1}\left[ F_{1}(s)\cdot F_{2}(s) \right] = \int_{0}^{t}f_{1}(u)\cdot f_{2}(t-u)du \ \ (s)

gdzie

f_{1}(u) = \cos(u) - \sin(u)

f_{2}(t-u) = \cos(t-u) +\sin(t-u)

Z (s) otrzymujemy

L^{-1}\left[ F_{1}(s)\cdot F_{2}(s) \right] = \int_{0}^{t} [\cos(u) -\sin(u)][\cos(t - u)+\sin(t-u)] du \ \ (c)

Przedstawiamy równacie całkowe (c) w postaci

L^{-1}\left[ F_{1}(s)\cdot F_{2}(s) \right] = \int_{0}^{t} \cos(u)\cdot \cos(t-u)du + \int_{0}^{t}\cos(u)\cdot \sin(t-u)du + \\- \int_{0}^{t}\sin(u)\cdot \cos(t-u)du -\int_{0}^{t}\sin(u) \sin(t-u) du = I_{1}+ I_{2} - I_{3} - I_{4}

Obliczamy każdą z całek I_{i}, \ \ i=1,2,3,4, osobno

I_{1}= \int_{0}^{t}\cos(u)\cos(t-u) du

Wykorzystujemy tożsamość trygonometryczną

2\cos(\alpha)\cos(\beta) = \cos(\alpha+\beta) +\cos(\alpha - \beta)

I_{1} = \int_{0}^{t}\frac{1}{2}\left[ \cos(u+t-u) + \cos(u- t +u)\right] du = \frac{1}{2}\int_{0}^{t} [\cos(t)  + \cos(2u -t)]du

I_{1} = \frac{1}{2}\left[ \cos(t)\cdot u + \frac{\sin(2u-t)}{2}\right]_{0}^{t}\right] = \frac{1}{2}\{\left[ t\cdot \cos(t) +\frac{\sin(t)}{2}\right] - \left[ 0 -\frac{\sin(t)}{2}\right]\} = \frac{1}{2}\left[ t\cos(t) + \sin(t)\right] \ \ (1)

I_{2} = \int_{0}^{t}\cos(u)\sin(t-u)du

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej

2\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta) = \sin(\alpha +\beta) +\sin(\alpha - \beta)

I_{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [\sin(t) + \sin(2u -t)]du

I_{2} = \frac{1}{2} \left[ \sin(t)\cdot u - \frac{\cos(2u-t)}{2} \right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}\left{ \left[ t\sin(t) -\frac{1}{2}\cos(t) - 0 +\frac{1}{2}\cos(t)\right]\right} =\\= \frac{1}{2} t\cdot \sin(t)\ \ (2)

Z symetryczności splotu

I_{3} = \int_{0}^{t} \sin(u)\cdot \cos(t - u)du = \frac{1}{2}t\cdot \sin(t) \ \ (3)

I_{4} = \int_{0}^{t} \sin(u)\cdot \sin(t-u) du

Korzystamy z tożsamości trygonometrycznej

2\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) = \cos(\alpha- \beta) - \cos(\alpha+\beta)

I_{4} = \frac{1}{2}\int_{0}^{t} [\cos(2u-t) +\cos(t) ]du = \left[\frac{\sin(2u-t)}{2}- u\cdot \cos(t) \right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}\left[\frac{sin(t)}{2}- t\cdot \cos(t)+\frac{\sin(t)}{2}\right] = \frac{1}{2}\left [\sin(t) - t\cos(t)\right] \ \ (4)

Z (1), (2), (3), (4)

L^{-1}\left[ \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}\right] = \frac{1}{2}\left[ t\cos(t) + \sin(t)\right]+ \frac{1}{2} t\cdot \sin(t)- \frac{1}{2}t\cdot \sin(t) - \frac{1}{2}\left [\sin(t) - t\cos(t)\right]

L^{-1}\left[ \frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}\right] = \frac{1}{2}t\cos(t) +\frac{1}{2}\sin(t)  -\frac{1}{2}\sin(t) +\frac{1}{2} t\cdot \cos(t) = t\cdot \cos(t)

L^{-1}\left[\frac{s^2-1}{(s^2+1)^2}\right] =  t \cdot \cos(t).

a) c) podobnie
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczanie transformacji Laplace'a.  Anonymous  5
 Transformacja Laplace'a.  Anonymous  0
 równanie różniczkowe Laplace  Mav  1
 rozwiązać równanie metodą Laplace'a  rObO87  14
 transformacja Laplace'a - RR  kawafis44  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl