szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 kwi 2019, o 22:40 
Użytkownik

Posty: 519
Lokalizacja: Rzeszów
Czas to w końcu zapisać, bo zrobiłem to, co zaraz krótko zaprezentuję, już w środę- półtora tygodnia temu.

Wiemy, że jeśli \left( X, \le \right) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to rodzina \mathcal{R}\left(  X\right) jego wszystkich istotnych przedziałów początkowych (różnych od X) uporządkowana inkluzją jest podobna do zbioru dobrze uporządkowanego X.

Można bardzo łatwo pokazać, że funkcja f:X \rightarrow \mathcal{R}\left( X\right) określona jako

f\left( x\right)=O\left( x\right)=\left\{ y\in X\Bigl| \  \ y<x\right\}.

jest podobieństwem.

Ponieważ własność bycia zbiorem dobrze uporządkowanym jest przenoszona przez podobieństwo, więc \left( \mathcal{R}\left( X\right), \subset\right) jest zbiorem dobrze uporządkowanym. To będzie nasza podstawa.

Już dawno temu, pisząc prace licencjacką o dobrych porządkach zauważyłem, że rodzina przedziałów początkowych \NN, czyli \emptyset \subset \left\{ 0\right\} \subset \left\{ 0,1\right\} \subset \left\{ 0,1,2\right\}\ldots jest podobna do \NN ze zwykłym porządkiem, i jest dobrze uporządkowana przez inkluzję. I już wtedy miałem chyba pomysł (ale zostawiłem go na potem, na prawie teraz) żeby stosować ten chwyt wielokrotnie. Tzn. wyznaczyć rodzinę istotnych przedziałów początkowych zbioru dobrze uporządkowanego, którym jest sama rodzina przedziałów początkowych \NN uporządkowana inkluzją (tak jak wypisane tu inkluzje). Itd. dowolną skończoną ilość razy. Jakieś trzy,cztery tygodnie temu wróciłem do tego starego problemu- tzn. wyznaczyłem pierwsze takie cztery rodziny zbiorów (coraz to bardziej złożone), i mimo, że zaczęliśmy od zwykłego, intuicyjnego podejścia do zbioru liczb naturalnych, zaczęły się pojawiać- nie uwierzycie- liczby naturalne von Neumanna. Niesamowite, kto by się spodziewał. Szkoda tylko, że jeśli liczby naturalne potraktujemy tak jak w teorii mnogości (czyli według von Neumanna), to tu się nic nie zmienia- otrzymujemy dalej zbiór liczb naturalnych von Neumanna( co widzę wyraźnie na wyznaczonych zbiorach, spróbuje też uzasadnić), czyli tu się nic nie zmienia, sprawa nieciekawa.

A jeśli na liczby naturalne spojrzymy normalnie, to mimo to pojawiają się takie zbiory. Pomyślałem, że to nie przyczyna w zbiorze liczb naturalnych, tylko ze struktury problemu. Pomyślałem, że może startując od dowolnego zbioru dobrze uporządkowanego, może też się w podobny sposób takie zbiory pojawią, co uzasadniłem. Przedstawie krótko ten ciekawy rezultat.

Niech n>0. Niech \left( X, \le \right) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, co najmniej (n+1)-elementowym. W \left( \mathcal{R}\left( X\right), \subset  \right) zbiór pusty jest przedziałem początkowym różnym od X, i jest oczywiście najmniejszym, względem inkluzji przedziałem początkowym. Jest to liczba naturalna von Neumanna 0.

Teraz popatrzmy na \left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right)\right), \subset  \right). Jego elementem najmniejszym jest zbiór pusty, czyli liczba naturalna von Neumanna 0. A jego następnikiem, będę go oznaczał \left( \emptyset\right) ^{+}=\left\{ A\right\}, gdzie A jest elementem najmniejszym w \left( \mathcal{R}\left( X\right), \subset  \right) W takim wypadku wyznaczyliśmy A=\emptyset. Otrzymujemy liczbę naturalną von Neumanna 1.

Popatrzmy jeszcze na \left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right)\right)\right), \subset  \right).

Znowu, jego elementem najmniejszym jest zbiór pusty, czyli 0.

Jego następnikiem jest \left( \emptyset\right) ^{+}=\left\{ A\right\}, gdzie A jest elementem najmniejszym w \left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right)\right), \subset \right) W takim wypadku wyznaczyliśmy A=\emptyset. Otrzymujemy liczbę naturalną von Neumanna 1.
Dalej,
1^{+}=\left( \left\{ \emptyset\right\} \right) ^{+}=\left\{ A,B\right\}, gdzie A jest elementem najmniejszym w \left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right)\right), \subset \right) , a B jest następnikiem A. Korzystając z wyznaczonych zbiorów w poprzednim punkcie, otrzymujemy liczbę naturalną von Neumanna 2.

Więc w takiej rodzinie przedziałów początkowych rzędu n (nazwijmy \left( \mathcal{R}\left( X\right), \subset  \right) rodziną przedziałów początkowych rzędu 1,\left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right)\right), \subset  \right) nazwiemy rodziną przedziałów początkowych rzędu 2, potem ostatnio rozważaną rzędu 3, itd. ), wtedy n 'pierwszych' przedziałów początkowych, to n pierwszych liczb naturalnych von Neumanna, licząc od 0, czyli zbioru pustego.

Wykażemy to indukcyjnie.

Niech \left( X _{n}, \subset  \right) będzie rodziną przedziałów początkowych rzędu n. Przypuśćmy, że liczba naturalna von Neumanna n tworzy kolejne przedziały początkowe A_1,A_2,\ldots,A_{n}. Chcemy w rodzinie \left( X _{n+1}=\mathcal{R}\left( X_n\right) , \subset  \right) przedziałów początkowych rzędu (n+1) wyznaczyć pierwsze (n+1) przedziałów początkowych, oznaczmy je kolejno jako B_1,B_2,\ldots,B_{n+1}.

Oczywiście B_1=\emptyset=0. Dalej
B_{2}=\left\{ A_1\right\} =\left\{ \emptyset\right\}=1. I dalej
B_{3}=\left\{ A_1,A_2\right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ \emptyset\right\}\right\}=2.

Nim przejdziemy dalej odnotujmy ogólny prosty fakt, że jeżeli mamy zbiór dobrze uporządkowany \left( X, \le \right) oraz A_1,A_2,\ldots,A_m są jego początkowymi elementami, a w rodzinie \mathcal{R}\left( X\right) zbiory B_1,B_2,\ldots,B_mm- pierwszymi przedziałami początkowymi, to (zakładamy, że zbiór X ma co najmniej (m+1)elementów) \left( B _{m} \right) ^{+}=\left\{ A_{1},A_{2},\ldots, A_{m}\right\}.

Kontynuując, wykażemy teraz, że dla dowolnego k naturalnego, takiego, że 2\le k<n jeśli B_{k}=\left( k-1\right)=\left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\},\ldots, \left( k-2\right)  \right\}( liczby naturalne w tym zbiorze traktujemy jako zbiory), to B_{k+1}=k=\left\{ \emptyset,\ldots, k-1 \right\}.
Ale B_{k+1}=\left( B_k\right) ^{+}=\left\{ A_1,A_2,\ldots, A_k\right\} Skorzystaliśmy z przytoczonego prostego faktu, co jest równe liczbie naturalnej von Neumanna k, już tylko stąd, że A_1,A_2,\ldots,A_n są kolejnymi liczbami naturalnymi von Neumanna.

Indukcja skończona( ograniczona) działa teraz dla B_1,B_2,\ldots,B_{n}. Pozostało wyznaczyć B_{n+1}.

B_{n+1}=\left( B_n\right) ^{+}=\left\{ A_1,A_2,\ldots, A_n\right\}=n, znowu, z głównego założenia, że A_1,A_2,\ldots,A_n są kolejnymi liczbami naturalnymi von Neumanna.

Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć.\square :lol: 8-)

Tu mogą być nieścisłości jeśli chodzi o ten związek liczby naturalnej- jej wartości, a liczby naturalnej von Neumanna( w tym ostatnim cięzko by było to ująć, można tylko formalnie operować, tą wartość liczby naturalnej ciężko wyrazić). Ale chyba, chociaż rozumowanie jest chyba dobre :?:

-- poniedziałek, 22 kwietnia 2019, 23:55 --

Jest dobrze :?:

Dla jasności, teza jest taka: Niech n>0. Niech \left( X, \le \right) zbiór dobrze uporządkowany, który ma co najmniej n elementów. Chcemy pokazać, że w rodzinie przedziałów początkowych rzędu n, czyli \left( X_ {n}, \subset  \right), to wtedy n pierwszych przedziałów początkowych to kolejno n pierwszych liczb naturalnych von Neumanna (licząc od 0, czyli zbioru pustego).

Jakub Gurak napisał(a):
Wykażemy to indukcyjnie.

Niech \left( X _{n}, \subset \right) będzie rodziną przedziałów początkowych rzędu n.
Muszę się poprawić, to zbyt duży skrót myślowy. Niech n>0. Przypuśćmy, że dla dowolnego zbioru dobrze uporządkowanego (który ma co najmniej n elementów), w rodzinie przedziałów początkowych rzędu n, wtedy n pierwszych przedziałów początkowych, to n pierwszych liczb naturalnych von Neumanna.
Weźmy dowolny zbiór dobrze uporządkowany \left( X,  \le \right), który ma co najmniej (n+1) elementów. Chcemy pokazać, że w rodzinie przedziałów początkowych rzędu (n+1), czyli \left( X_ {n+1}, \subset  \right), to wtedy (n+1) pierwszych przedziałów początkowych to kolejno (n+1) pierwszych liczb naturalnych von Neumanna.

Mamy \left( X_ {n+1}, \subset  \right)=\left( \mathcal{R}\left( X _{n} \right),  \subset   \right)

W \left( X _{n}, \subset  \right) rodzinie przedziałów początkowych rzędu n, możemy zastosować założenie indukcyjne i dostać, że zbiorem n pierwszych przedziałów początkowych, to liczba naturalna von Neumanna n (jako zbiór). \left\{ A_1,A_2, \ldots,A_n \right\}=n.

Dalej jak wyżej, będzie w porządku :?:

A jeśli \left( \NN, \le\right) jest zbiorem liczb naturalnych von Neumanna, to rodzina jego istotnych przedziałów początkowych, to

\left\{  \left\{ m\in\NN\Bigl| \  \  m<n\right\} \Bigl| \  \ n\in\NN  \right\}=\left\{ n\Bigl| \  \ n\in \NN\right\}=\NN. I ponieważ w zbiorze liczb naturalnych von Neumanna zwykły porządek definiuje się jako inkluzję otrzymujemy ten sam zbiór dobrze uporządkowany. Można tak prosto :?:
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równoliczność zbioru  max04  7
 Bijekcja ze zbioru podziału na zbior relacji r. zbioru A  Matiks21  7
 Wykazanie inf zbioru na podstawie ciągu  dusiek  1
 Moc zbioru macierzy o wyrazach wymiernych  rziomek1  1
 Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalneg  novicjusz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl