szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta
PostNapisane: 20 kwi 2019, o 18:52 
Użytkownik

Posty: 25
Lokalizacja: Wrocław
Hej, potrzebuję pomocy z następującymi przykładami:
a) y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}

b) y''-2y'\tg x=1

Wiem, że najpierw należy rozwiązać równanie jednorodne...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 kwi 2019, o 11:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
a) y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}
y''-y=0\\
y=C_1e^x+C_2e^{-x}
Musisz rozwiązać układ równań
\begin{bmatrix} e^{x}&e^{-x}\\e^{x}&-e^{-x}\end{bmatrix}  \begin{bmatrix} C_1' \\ C_2' \end{bmatrix}  =  \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}} \end{bmatrix}

b) y''-2y'\tg x=1
Podstawienie:
y' =q(x) \ \  \Rightarrow  \ \ y''=q'
obniża rząd i daje równanie liniowe
q'-(2 \tg x )q=1
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 kwi 2019, o 15:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6678
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Skoro ma być uzmiennianie stałych to w tym drugim równaniu należy zamienić zmienną niezależną

y''-2y'tgx=1\\
t=\tg{x}\\
 \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }=1+\tg^2{x} \\
\frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }= 1 + t^2\\
 \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot  \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\
\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\
 \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right) \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} =\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left(  \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot  \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }  \right)  \cdot  \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\left( 1+t^2\right)  \right) \left( 1+t^2\right) \\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2}=\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\

\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}-2t\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}=1\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2=1\\
\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\frac{1}{\left( 1+t^2\right)^2}\\
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znleść rozwizanie ogólne następującego równania różniczkoweg  karolina_87_  1
 Równanie różniczkowe  Anonymous  6
 Rozwiązanie asymptotyczne równania różniczkowego  Pikaczu  0
 Równanie różniczkowe - zadanie 10  niebieski  0
 równanie różniczkowe Clairauta - zadanie 2  qaz  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl