szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 13:55 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Polska
Mam równianie:

y''-4y'+4y=0 ,  y_{1} = e ^{2x}

Należy metodą redukcji rzędu znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania.

y_{2} = u(x)e ^{2x}

y' = e ^{2x}u' +2e ^{2x} u

y'' = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u

e ^{2x}u = y

Więc:

y'' - 4y = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u'

Rozumiem, że powinienem wrócić do postaci:

y''-4y'+4y=0

Tylko co dalej?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 14:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
Raziel95 napisał(a):
Mam równianie:

y''-4y'+4y=0 ,  y_{1} = e ^{2x}

Należy metodą redukcji rzędu znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania.

y_{2} = u(x)e ^{2x}

y' = e ^{2x}u' +2e ^{2x} u

y'' = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u
OK.
Wstawiasz to do pierwotnego równania i dostajesz:
(e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u)-4(e ^{2x}u' +2e ^{2x} u)+4(e ^{2x})=0\\
e ^{2x} u'' =0\\
u''=0\\
u'=C_1\\
u=xC_1+C_2
stąd:
y= u(x)e ^{2x}=(xC_1+C_2)e ^{2x}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 14:18 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Polska
A ten przykład dobrze zrobiłem?

x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0,   y_{1} =x^{2}

y'' +  \frac{2}{x} y' - \frac{6}{x ^{2} } y = 0

y_{2} = x ^{2}  \int_{}^{}  \frac{ e^{ \int_{}^{}  \frac{2}{x} dx} }{x ^{4}} dx = -x

y= c_{1} x ^{2} - c _{2}x
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 18:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
Raziel95 napisał(a):
A ten przykład dobrze zrobiłem?
x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0,   y_{1} =x^{2}
....
...
y= c_{1} x ^{2} - c _{2}x

No to sprawdźmy:
y'=c_12x-c_2\\
y''=2c_1
wstawiam to do pierwotnego równania:
L=x^2(2c_1)+2x(c_12x-c_2)-6(c_{1} x ^{2} - c _{2}x)=8c_2x \neq 0\\
L \neq P
Wychodzi że przykład nie jest prawidłowo rozwiązany

Robiłbym tak:
x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0,   y_{1} =x^{2}
y=ux^2 \ \ \Rightarrow  \ \ y'=u'x^2+2ux \ \ \Rightarrow \ \ y''=u''x^2+4u'x+2u
x^{2}(u''x^2+4u'x+2u) + 2x(u'x^2+2ux) - 6(ux^2) = 0
u''x^4+6u'x^3=0
dzielę przez x^3 (zakładam że nie sprawdzacie punktów i rozwiązań osobliwych) i podstawiam p=u'. Dostaję równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
p'x+6p=0\\
 \frac{ \mbox{d}p}{p}=-6 \frac{ \mbox{d}x }{x} \\
\ln p=-6 \ln x+C\\
p= \frac{C}{x^6} \\
u'=p  \ \ \Rightarrow  \ \  u'=\frac{C}{x^6}  \ \ \Rightarrow  \ \ u= \frac{-C}{5x^5}+C_2 =\frac{C_1}{x^5}+C_2 \\
y=ux^2=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2

Sprawdzenie pozostawiam Tobie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 19:11 
Użytkownik

Posty: 46
Lokalizacja: Polska
Sprawdziłem i L=P

Czemu jednak lepiej tutaj skorzystać z tradycyjnego podejścia zamiast z przypadku ogólnego, gdy
równianie jest postaci :

y''+P(x)y'+Q(x)y=0

i skorzystać ze wzoru:

y _{2}=y _{1}(x) \int_{}^{}  \frac{e ^{- \int_{}^{} Pdx} }{ y_{1}  ^{2} }  dx

EDIT:

Policzyłem jeszcze raz ze wzoru i również wyszło mi poprawnie.
Zapomniałem znaku - przed całką przy e.
Poza tym wszystko się zgadza.

Rozwiązanie, które mi wyszło to:
y=C _{1}x ^{2} - \frac{C _{2}}{5 x^{3} }

Wyszło różnica w znaku i ułamku. Ale to chyba nie ma znaczenia bo C _{2} to dowolna liczba. Zgadza się?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 kwi 2019, o 20:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7046
Twoja edycja uprzedziła mnie, i musiałem skasować fragment o braku minusa i prawidłowe rozwiązanie go uwzględniające.

Stałe ''zjadają'' każdy współczynnik i zbędne minusy.

Sądziłem że masz narzuconą metodę i musisz postępować jak w pierwszym poscie. Gdyby nie było ograniczeń co do metody to oba równania (pierwsze to równanie Newtona, a drugie Eulera) rozwiązują odpowiednie podstawienia i równania charakterystyczne.

Drugie:
x^2y''+2xy'-6y=0\\
y=x^r \ \  \Rightarrow \ \  y'=rx^{r-1} \ \  \Rightarrow \ \  y'=r(r-1)x^{r-2} \\
x^2r(r-1)x^{r-2}+2rx^{r-1}-6x^r=0\\
r^2+r-6=0  \ \  \Rightarrow \ \  r=2 \vee r=-3\\
y=C_1x^2+C_2x^{-3}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równania liniowe pierwszego rzędu  wishina  2
 wyznaczyc rozwiązanie ogolne równania drugiego rzędu  pawlos66  4
 R. różniczkowe nieliniowe, niehomogeniczne, pierwszego rzędu  KaerbEmEvig  0
 Równanie różniczkowe 1. rzędu  kolegasafeta  1
 Równanie różniczkowe rzędu drugiego - zadanie 8  Hondo  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl