szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 kwi 2019, o 00:47 
Użytkownik

Posty: 112
Lokalizacja: Warszawa
Cześć, robię takie zadanko :

Wykazać że dla x,y > 0 zachodzi x^x\cdot y^y > \left( \frac{x+y}{2} \right) ^{x+y}.

Wydaje mi się że ewidentnie narzuca się nierówność Jensena dla funkji f \left( x \right) = x^x, ale niestety mam z tym problem. Czy ktoś może doradzić ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 13 kwi 2019, o 01:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13880
Lokalizacja: Wrocław
Zlogarytmujmy tę nierówność stronami, a otrzymamy równoważną wyjściowej nierówność:
x\ln x+y\ln y\ge (x+y)\ln\left( \frac{x+y}{2}\right)
Dzielimy następnie stronami przez 2 i otrzymujemy:
\frac{x\ln x+y\ln y}{2}\ge  \frac{x+y}{2}\cdot \ln\left( \frac{x+y}{2}\right)
a to jest prawda na mocy nierówności Jensena dla wypukłej f(t)=t\ln t.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność miedzy srednimi  _el_doopa  6
 pochodnie i nierownosc  esberitox  1
 Uzasadnij nierówność  take7  0
 Udowodnij nierówność - zadanie 13  Mabakay  3
 Nierównośc Jensena  klara  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl