szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 09:46 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Witam,

Mam taką relację A=(1,10) i r =\left\{(x,y) \in A\times A : x \le y  }\right\}

Czy relacja ta posiada element najmniejszy (wtedy bedzie relacja dobrego porządku)?

Bo niby elementem najmniejszym powinna być liczba najbliższa 1 ale jak ja zapisac? Bo w przedziale to łatwo, przedział otwarty i tyle, ale jak wybrac taki element w takim przypadku?

Pozdrawiam
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 10:49 
Użytkownik

Posty: 662
Po pierwsze to jeśli nawet istnieje element najmniejszy to wcale nie implikuje, że mamy relację dobrego porządku. Spójrz proszę do definicji.

I taka idea: weź liczbę a i załóż nie wprost, że jest elementem najmniejszym tej relacji.Następnie weź liczbę, która jest średnią arytmetyczną liczb a oraz 1 jaki wniosek?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 10:51 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Ok ok jasne, ale ta relacja jest relacja liniowego porządku wiec do dobrego porządku został mi tylko element najmniejszy.

Nie bardzo rozumiem z tą srednia arytemtyczna :/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 10:58 
Użytkownik

Posty: 662
Która liczba jest wìększa a czy \frac{a+1}{2}?
Przypominam, o założeniu nie wprost że a jest elementem najmniejszym.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 10:59 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Mniejsza będzie \frac{a+1}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:01 
Administrator

Posty: 24594
Lokalizacja: Wrocław
matematykapj napisał(a):
Ok ok jasne, ale ta relacja jest relacja liniowego porządku wiec do dobrego porządku został mi tylko element najmniejszy.

No skąd! Nie znasz definicji dobrego porządku!

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:04 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Czyli dobry porządek to liniowy porządek + każdy podzbiór tego zbioru ma element najmniejszy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:07 
Administrator

Posty: 24594
Lokalizacja: Wrocław
matematykapj napisał(a):
Czyli dobry porządek to liniowy porządek + każdy podzbiór tego zbioru ma element najmniejszy?

Każdy niepusty podzbiór. Z naciskiem na "każdy".

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Ok przeoczyłem to. Czyli nasza relacja nie będzie mieć elementu najmniejszego tak?

A gdyby zbiór był zdefiniowany \{1,2..9,10\} to już element najmniejszy by istniał?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:27 
Administrator

Posty: 24594
Lokalizacja: Wrocław
matematykapj napisał(a):
Ok przeoczyłem to. Czyli nasza relacja nie będzie mieć elementu najmniejszego tak?

To nie relacja ma bądź nie element najmniejszy.

Tak, w zbiorze uporządkowanym \left\langle (1,10),\le\right\rangle nie ma elementu najmniejszego.

matematykapj napisał(a):
A gdyby zbiór był zdefiniowany \{1,2..9,10\} to już element najmniejszy by istniał?

Tak, w zbiorze uporządkowanym \left\langle \{1,2..9,10\},\le\right\rangle istnieje element najmniejszy.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:30 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Warszawa
Jan Kraszewski napisał(a):
Tak, w zbiorze uporządkowanym \left\langle \{1,2..9,10\},\le\right\rangle istnieje element najmniejszy.


JK


Czyli taka relacja będzie dobrym porządkiem tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 11:33 
Administrator

Posty: 24594
Lokalizacja: Wrocław
Taka relacja na tym zbiorze jest dobrym porządkiem, ale nie (wyłącznie) dlatego, że w tym zbiorze jest element najmniejszy. Uzasadnienie, że jest to dobry porządek wymaga więcej wysiłku.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 kwi 2019, o 17:19 
Użytkownik

Posty: 519
Lokalizacja: Rzeszów
Każdy skończony liniowo uporządkowany zbiór jest dobrze uporządkowany. Wynika to stąd(z takiego prostego faktu), że w każdym niepustym skończonym podzbiorze zbioru liniowo uporządkowanego jest element najmniejszy (i największy ).

Idea zbioru dobrze uporządkowanego \left( X, \le \right) jest taka, że zbiór jest dobrze uporządkowany jeśli możemy wymienić jego kolejne elementy (od najmniejszego, biorąc kolejne następniki, tworząc coraz to większe elementy, krok po kroku) aż wyczerpią się elementy zbioru X. Problem w tym, że w teorii mnogości mogą być dłuższe porządki niż zbiór liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem. Jednak mamy twierdzenie Zermelo równoważne aksjomatowi wyboru, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować.

Oznacza to, że jeżeli możemy utworzyć dowolny zbiór X, to możemy również wymienić jego elementy jeden po jednym aż wyczerpią się elementy zbioru X.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 problem z wlasnosciami relacji  student_infy  2
 Rozdzina podzbiorów - porządek naturalny  Harry Xin  1
 Czy porządek kartezjański jest porządkiem liniowym?  walczak  1
 Określenie relacji - zadanie 2  sibou  1
 Klasy abstrakcji w relacji  kamel_94  22
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl