szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 6 kwi 2019, o 00:03 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Tarnów
Witam mam do rozwiązania kilka równań, ale kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać, co robić itd.
1. y' = -  \frac{y}{x}
2. y \cdot  \frac{dy}{dx}  + x = 1
3. y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0
4. xy'-y= y^{2}
Rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne zględem \frac{y}{x}:
5. \frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2
6. y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }
7. y'- \frac{y}{x} = ({\sin  \frac{y}{x}})^{2}
Zupełnie nie wiem jak to ugryźć, byłbym wdzięczy, gdyby ktoś mógł np rozwiązać po 1 przykładzie i wytłumaczyć po krótce.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 kwi 2019, o 00:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13893
Lokalizacja: Wrocław
Bierzesz książkę Palczewskiego i zbiór zadań Matwiejewa (są tam też rozwiązane przykłady), a jak za trudna to Skoczylasa któregoś albo KW drugi tom, i jedziesz, od przepisywania za bardzo się nie nauczysz. No ale cóż, lubię liczyć.

1)
y' = - \frac{y}{x}\\ y' x+y=0\\(xy)'=0\\ xy=C\\ y=\frac{C}{x}

2)
y  \frac{dy}{dx} + x = 1\\ y\frac{dy}{dx}=1-x\\ \frac{y^2}{2}=x-\frac{x^2}{2}+C
To jest rozwiązanie w postaci uwikłanej, można z tego zrobić
y=\pm \sqrt{2x-x^2+2C}, ale można się jeszcze zastanowić, czy da się w jakimś punkcie skleić te postaci tak, by wyszła funkcja różniczkowalna (choć zwykle pomija się takie rozważania).

3)
y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0\\ -y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.

4)
xy'-y=y^2\\ \frac{y'}{y+y^2}=\frac 1 x\\ \ln|y|-\ln|y+1|=\ln|x|+C\\ \frac{y}{y+1}=C_1 x\\ y=\frac{C_1 x}{1-C_1 x}
gdzie C_1 to dowolna stała (dałem ten indeks, bo to nie ta sama, co C).


5)
\frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2
Mnożymy przez x i mamy:
x\frac{dy}{dx}+y=2x\\\frac{d}{dx}\left(xy \right) =2x\\ xy=x^2+C\\ y=x+\frac{C}{x}
Podstawiając x=1 i korzystając z warunku y(1)=2, mamy
y(1)=1+C\\ 2=1+C\\C=1
i ostatecznie rozwiązaniem jest:
y=x+\frac 1 x

6)

y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }
Tutaj (poprzednio też można było tak postąpić, ale IMHO na siłę) podstawy y=ux, gdzie u jest funkcją zmiennej x. Dostajemy:
xu'+u-u=e^u\\ u'e^{-u}=\frac 1 x\\-e^{-u}=\ln |x|+C\\ u=-\ln(-\ln|x|-C)\\ y=ux=-x\ln(-\ln|x|-C)

7)

y'- \frac{y}{x} = \left({\sin \frac{y}{x}}\right)^{2}
Tutaj nie ma niespodzianki, również podstawiamy y=ux (warto zapamiętać to podstawienie).
Otrzymujemy:
xu'+u-u=\sin^2 u\\ \frac{u'}{\sin^2 u}=\frac 1 x\\-\ctg u=\ln|x|+C\\ -\ctg\left( \frac y x\right)=\ln|x|+C\\ \ctg\left( \frac y x\right)+\ln|x|+C=0
i szczerze w takiej postaci bym to zostawił, bo nie zawsze jest \arcctg(\ctg t)=t. Można to sobie rozwikłać na odpowiednim kawałku dziedziny, w zależności od potrzeb.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 kwi 2019, o 01:26 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Premislav napisał(a):
3)
y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0


Nie rozumiem tego przejścia, :oops: mógłbyś wyjaśnić?

Premislav napisał(a):

3)
-y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.


Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 kwi 2019, o 01:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13893
Lokalizacja: Wrocław
Rozbitek napisał(a):
Nie rozumiem tego przejścia, :oops: mógłbyś wyjaśnić?

Podzieliłem sobie stronami przez (1+x)(1-y) (właściwie to ten zapis jest dość nieformalny). Jak ktoś tak nie lubi, to zostają metody z tego wątku, warto je znać: 362662.htm

Cytuj:
Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.

Why not both? Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego. Zresztą mniejsza, nie będę się kłócić o nazewnictwo (choć jak pamiętam mnie tak uczono), ja równania różniczkowe zdałem dawno temu, rzadko korzystam, możliwe, że jakieś nazwy przekręcam.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 6 kwi 2019, o 01:59 
Użytkownik

Posty: 487
Lokalizacja: Warszawa
Premislav, dzięki.

Cytuj:
Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego.


Ale odwrotnie już nie i może o to chodzi. Albo profesor lubi się czepiać. ;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równania różniczkowe pierwszego rzędu  rafczyk  1
 Równania rózniczkowe pierwszego rzędu - zadanie 2  seba101626  10
 Równania różniczkowe pierwszego rzędu - zadanie 3  Wiolaa  10
 Równanie różniczkowe - zadanie 2  Undre  1
 Dwa równania różniczkowe  tomasz rakoczy  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl