szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2019, o 20:40 
Użytkownik

Posty: 154
Lokalizacja: Lublin
Jak policzyć całkę:

\int(\arctan x) ^2dx

stosując postawienie u=\tan x? Jak ją policzyć innym sposobem (podstawieniem?)?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2019, o 23:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6975
\int(\arctan x) ^2dx=x(\arctan x) ^2- \int_{}^{}  \frac{2x\arctg x}{1+x^2} \mbox{d}x =

Niestety, zarówno pierwotna całka, jak i oczywiście ta uzyskana po całkowaniu przez części nie jest elementarną. Można rozwinąć arkus w szereg i całkować po wyrazach tego szeregu, lecz przypuszczam że coś źle przepisałeś i chodzi o łatwiejszy przykład.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2019, o 10:36 
Użytkownik

Posty: 154
Lokalizacja: Lublin
Trzeba pokazać, że przy pomocy podstawienia u=\tan x zachodzi równość:

\int (\arctan x)^2dx=\frac{1}{2}\int u^2(\cos 2u - 1)du

Następnie z wykazanej równości trzeba policzyć tą całkę.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 kwi 2019, o 11:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13709
Lokalizacja: Wrocław
To nie jest prawda, i chyba chciałeś napisać u=\arctan x

\int_{}^{} (\arctan x)^2\,\dd x=\left|\begin{array}{ccc} u=\arctan x\\ x=\tg u\\ \,\dd x=\frac{\,\dd u}{\cos^2 u}\end{array}\right|= \int_{}^{}  \frac{u^2}{\cos^2 u}\,\dd u

a zapewniam Cię, że nie jest w ogólności prawdą \frac 1 2(\cos 2u-1)=\frac{1}{\cos^2 u}.
Całka jest nieelementarna, tak jak Pan kerajs powiedział.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2019, o 22:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6670
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
\int(\arctan x) ^2dx=x(\arctan x) ^2- \int_{}^{}  \frac{2x\arctg x}{1+x^2} \mbox{d}x =\\
\int(\arctan x) ^2dx=x(\arctan x) ^2- \left( \ln{\left( 1+x^2\right) }\arctg x- \int_{}^{}  \frac{\ln{\left( 1+x^2\right) }}{1+x^2}  \mbox{d}x \right) \\
\int(\arctan x) ^2dx=x(\arctan x) ^2-\ln{\left( 1+x^2\right) }\arctg x + \int_{}^{}  \frac{\ln{\left( 1+x^2\right) }}{1+x^2}  \mbox{d}x\\

Teraz należałoby przejść na zespolone i tam można zarówno logarytm rozłożyć na sumę
jak i 1+x^2 rozłożyć na czynniki
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2019, o 22:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3681
Lokalizacja: blisko
Wyjdą dwa polilogarytmy drugiego stopnia z całek:

\int_{}^{}  \frac{\ln(1+ix)}{1-ix}dx

\int_{}^{}  \frac{\ln(1-ix)}{1+ix}dx
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2019, o 23:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13709
Lokalizacja: Wrocław
Polilololololo, po prostu jak widzicie taki przykład, to autor wątku źle zapisał całkę lub nie doczytał, że chodziło o wykonanie podstawienia w tej całce (takie ćwiczenie dla początkujących), a nie o jej obliczenie.
Cytuj:
Trzeba pokazać, że przy pomocy podstawienia u=\tan x zachodzi równość:

\int (\arctan x)^2dx=\frac{1}{2}\int u^2(\cos 2u - 1)du

Z tej bzdury wyciągnąłem, jaka powinna być postać całki, po prostu wykonując „odwrotne" podstawienie:
\frac{1}{2}\int u^2(\cos 2u - 1)du=\left|\begin{array}{cc} u=\arctg x\\ \,\dd u=\frac{\,\dd x}{1+x^2}\end{array}\right|= {\red \int_{}^{}- \left(  \frac{x\arctan x}{1+x^2} \right)^2 \,\dd x}

-- 18 kwi 2019, o 22:29 --

Po prostu trzeba mieć trochę zdrowego rozsądku, podobnie gdy ktoś przynosi ze szkoły równanie, które idzie tylko ze wzorów Cardana, to znaczy, że pewnie źle przepisane, i tutaj na tej samej zasadzie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2019, o 23:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3681
Lokalizacja: blisko
Cytuj:
podobnie gdy ktoś przynosi ze szkoły równanie, które idzie tylko ze wzorów Cardana, to znaczy, że pewnie źle przepisane,


Według mnie oznacza to tylko tyle, że tych wzorów Cardana trzeba się po prostu nauczyć, co niestety nie było mi dane w czteroklasowej szkółce niedzielnej (więc zazdroszczę tym, którzy je umieją)...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2019, o 01:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 6670
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Co do wzorów Cardano to dużą rolę tam grają wzory skróconego mnożenia
ale zostawmy to

Aby te polilogarytmy dostać to jeszcze trzeba się trochę pobawić
Od razu ich nie dostaniemy

Jeśli dobrze pamiętam to kiedyś tę całkę policzyłem do końca
właśnie z użyciem polilogarytmów
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka  Anonymous  1
 Całka nieoznaczona - zadanie 1660  uczeń777  1
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 całka i pochodna  Tom100  1
 Całka przez podstawianie - zadanie 3  SowaX  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl