szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 03:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt znajdujący się w dodatniej "ćwiartce" tak aby powstały czworościan na przecieciu z osiami miał jak najmniejszą objętość. Wydaje mi się że ta płaszczyzna musi dzielić na osiach równe części tylko nie za bardzo wiem jak to pokazać funkcją wielu zmiennych za pomocą ekstremum. Ma ktoś jakiś pomysł?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 06:29 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zacznij może od napisania czegoś. Np. oznaczenie tego punktu jakąś literą? Od napisania równania płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt. Od wyliczenia punktów przecięcia z osiami.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 12:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Rozpisałem ale wydaje mi się że źle się do tego zabieram. To jest to co mam:

Punkt przez który przechodzi płaszczyzna P(x_0,y_0,z_0), x_0,y_0,z_0>0.
Wektor normalny płaszczyzny n[A,B,C].
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P to A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Punkty które przecinają się z osiami (czyli te które wyznaczają wierzchołki czworościanu) K(k,0,0), I(0,i,0), J(0,0,j).
Objętość będzie najmniejsza wtedy gdy k \cdot i \cdot j osiąga minimum.
Potem podstawiłem te punkty do równanie płaszczyzny i dostaje 3 równania:
-x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+C \cdot j=0 \\
 -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+B \cdot i=0 \\
 -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+A \cdot k=0.
Wychodzi z tego że A \cdot k=B \cdot i=C \cdot j.

I w tym momencie nie wiem co robić. Jak wyznaczyć wektor normalny
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
A jaką wartośc masz zminimalizować? Wylicz ją w zależności od niewiadomych A,B,C
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 13:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Zminimalizować mam k \cdot i \cdot j tylko nie za bardzo wiem jak ułożyć równanie z którego mogę policzyć ekstremum.

-- 2 kwi 2019, o 12:59 --

Jedyne co przychodzi mi na myśl to wyliczyć np k,j i z tego wychodzi k=\frac{B}{A} \cdot i, j=\frac{B}{c} \cdot i. Czyli minimum musi osiągać wyrażenie \frac{i^3B^2}{C \cdot A}. Ale co dalej z tym to też nie wiem.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
A z tych trzech równań potrafisz obliczyć i,j,k odpowiednio?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 14:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Potrafię, a jak je już wylicze to potem mam je podstawić do i \cdot j \cdot k i z tego liczyć ekstremum warunkowe w którym warunkiem jest równanie płaszczyzny?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
No nie, bo równanie płaszczyzny nie jest dane.
Otrzymasz funkcję postaci V(A,B,C) i masz policzyć jej minimum.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 268
Lokalizacja: Polska
Z racji, że płaszczyzna dająca minimalną objętość pozostanie ją w dowolnym przekształceniu afinicznym, musi być prawdą, że ów punkt będzie środkiem ciężkości trójkąta, który płaszczyzna odcina od pierwszego oktantu. Ten łatwo jednak znaleźć - wystarczy bowiem punkt dzielący odcinek środek uładu współrzędnych-szukany punkt w stosunku -1,5 zrzutować na osie układu współrzędnych.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 16:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Po obliczeniu pochodnych cząstkowych i ich miejsc zerowych wychodzi że B= A \cdot \frac{x}{y}  \wedge  C=A \cdot \frac{x}{z}  \wedge  A>0. Czy takie coś jest dobrze? Bo wydaje mi się coś źle, bo A jest nie określone. Obliczenia wszystkie robil wolfram alpha.

-- 2 kwi 2019, o 15:54 --

Hydra147, mógłbyś wytłumaczyć jak na podstawie środka ciężkości wyznaczyć wierzchołki? Bo nie za bardzo rozumiem jak to zrzutować. Najlepiej na jakimś konkretnym przykładzie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
Obliczenia powinieneś zrobić sam. Licho wie co tam do Wolframa wsadziłeś.
A poza tym skąd mam wiedzieć czy jest dobrze, jak nie pokazujesz żadnych obliczeń.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 17:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 92
Lokalizacja: Krakow
Tylko te obliczenia są dość długie i trudne więc wtedy zajęło by to za dużo czasu. :D Chodzi mi o to bardziej czy możliwe jest że takich czworościanow jest nieskończenie wiele? Myślałem że jest on zawsze wyznaczany jednoznacznie.

-- 2 kwi 2019, o 18:54 --

Więc wszystkie obliczenia po kolei:

j= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{C}
i= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{B}
k= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{A}

Do równania i\cdot j \cdot k wstawiam te wartości i otrzymuje:
\frac{(A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0)^3}{A\cdot B\cdot C} i ta funkcja ma osiągać minimum.

Teraz pochodna po A, B, C ma równać się 0. I Tu zaczynam używać wolfram alpha (możliwe że robię coś źle bo nie da się obliczyć wszystkich wszystkich 3 równań jednocześnie tylko max dwa).
i wynik wychodzi:
B= \frac{A\cdot x_0}{y_0}, C= \frac{A\cdot x_0}{z_0}, A>0

I teraz wydaje mi się że coś jest nie tak, bo to trochę dziwne że jest nieskończenie wiele takich czworościanów.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 20:45 
Użytkownik

Posty: 268
Lokalizacja: Polska
Jeśli twój punkt ma współrzędne (x,y,z), to szukany przez Ciebie trójkąt ma wierzchołki (3x,0,0), (0,3y,0), (0,0,3z).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 2 kwi 2019, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 16649
Lokalizacja: Bydgoszcz
Powtarzam: nie używaj Wolframa tylko licz sam. Inaczej niczego sie nie nauczysz.

Wylicz pochodne tej funkcji po A,\ B i C i przyrównaj je do zera.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Objętosc czworoscianu  Olowokandi  2
 Objętość czworościanu - zadanie 18  astka  2
 Objetośc czworościanu  enriqe  0
 objętość czworościanu - zadanie 17  Mateusz9000  1
 Objętość czworościanu - zadanie 10  beavisboss  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl