szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2019, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Polska
2x \cdot \arctan x \ge \ln (1+x ^{2})

Jak się udowadnia tego typu nierówności? Istnieje jakiś schemat udowadniania?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2019, o 20:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Tak, istnieje pewien schemat, nawet pewnie więcej niż jeden.

Rozważmy funkcję f(x)=2x\arctan x - \ln (1+x ^{2}). Funkcja f jest parzysta, więc wystarczy pokazać, że jest ona nieujemna dla x\ge 0.
Mamy f(0)=0, a także dla x>0 zachodzi
f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+2\arctan x-\frac{2x}{1+x^2}=2\arctan x>0
Czyli f jest rosnąca w (0,+\infty), a zatem dla dowolnego x\ge 0 mamy
f(x)\ge 0, czyli 2x\arctan x\ge \ln (1+x^2), c.n.d.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2019, o 20:11 
Użytkownik

Posty: 816
Lokalizacja: Polska
Kilka schematów można znaleźć

f(x) \ge g(x) \\
 h(x) := f(x)-g(x) \ge 0

I można np. pokazać, że w punkcie x_0 jest równość; na lewo od x_0 funkcja h jest malejąca, a na prawo rosnąca. (w szczególności x_0 =0 i h może być parzysta tak jak tutaj ;))

Można np. pokazać, że h ma ekstrema lokalne i każde z nich jest dodatnie

Może trywializuje się pokazanie, że
e^{f(x)-g(x)} > 1

Metod jest multum, a która zadziała? To zależy od konkretnego przypadku...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2019, o 20:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Tutaj można też zastosować twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej: dla x=0 zachodzi równość, zaś dla x>0 istnieje takie c\in(0,x), że:
\frac{\arctg x-\arctg 0}{\ln(1+x^2)-\ln(1+0)}=\frac{\frac{1}{c^2+1}}{\frac{2c}{c^2+1}}=\frac{1}{2c}
i skoro c\in(0,x), to \frac{1}{2c}>\frac{1}{2x}

No a jeśli chodzi o x<0, to ponownie korzystamy z parzystości.

-- 25 mar 2019, o 19:25 --

Przypomniało mi się też, że tutaj: 208702.htm jest wątek poświęcony dowodzeniu nierówności za pomocą twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, akurat tutaj raczej się nie przyda, ale często się przydaje.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność miedzy srednimi  _el_doopa  6
 rachunek różniczkowy funkcji złożonych  Godfryd  4
 udowodnij z definicji wzor na iloczyn pochodnej funkcji  revlon  1
 Rachunek różniczkowy - definicje i wyjaśnienia  Anonymous  2
 Rachunek różniczkowy/całkowy  Papkin  10
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl