szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 24 mar 2019, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Gdynia
Hejka, mam takie zadanie:
Pokazać, że dla dodatnich liczb a_{1},  a_{2} ...  a_{n} zachodzi:
\sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a _{k} }  \le \ln \left(1+  \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e ^{ a_{k} }-1 \right)  } \right)

I starałem się przerzucić wszystko na prawo, policzyć co się dzieje gdy wszystkie niewiadome to 0 a potem ekstremum funkcji wielu zmiennych ale coś mi nie wychodzi i nwm czy to w ogóle dobry sposób
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 25 mar 2019, o 03:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13887
Lokalizacja: Wrocław
Tak to raczej nie pójdzie. Mam inną propozycję:
\textbf{Lemat} funkcja f(x)=\ln\left( e^{e^x}-1\right) jest wypukła w \RR. Dowód lematu (wyliczenie drugiej pochodnej i uzasadnienie, że jest ona dodatnia, to ostatnie można zrobić ze znanej nierówności e^t\ge 1+t z równością tylko dla t=0) pozostawiam w charakterze ćwiczenia dla Ciebie.

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Na mocy nierówności Jensena dla funkcji f(x)=\ln\left( e^{e^x}-1\right), równych wag i argumentów \ln a_1, \ldots \ln a_n otrzymujemy:
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\ln\left( e^{e^{\ln a_k}}-1\right) \ge \ln\left(e^{e^{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln a_k}}-1\right)
czyli innymi słowy, po prostych przekształceniach (własności logarytmów):
\ln\left(  \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right)  } \right) \ge \ln\left(e^{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a_k} } -1\right)
Funkcja f(t)=e^t jest rosnąca, więc logarytmów się pozbywamy i równoważnie mamy:
\sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right) } \ge e^{ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} a_k} } -1
Jedynkę przenosimy na lewo, logarytmujemy stronami i dostajemy:
\ln\left( 1+ \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}\left( e^{a_k}-1\right)  } \right) \ge  \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n}a_k }
co kończy dowód.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność n zmiennych  Rokush  5
 funkcja dówch zmiennych - pochodnymi przyrównanymi do ze  Anonymous  5
 Ekstrema funkcji 3 zmiennych  Anonymous  4
 ekstrema 3 zmiennych  Anonymous  2
 Nierówność miedzy srednimi  _el_doopa  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl