szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Warszawa
Niech f : \left[ 0,1\right]   \rightarrow  \RR będzie ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na \left( 0,1\right) . Załóżmy, że:
f(0) = f(1) = 0 oraz f(x)+2f'(x)+f''(x) \le 0dla x \in \left( 0,1\right). Udowodnij, że f(x)  \ge 0 dla x \in \left[ 0,1\right]

I zapisałem ten warunek jako f(x)+f'(x)+f'(x)+f''(x) \le 0, wymnożyłem przez e ^{x}, Całkujemy tę nierówność w granicach od 0 do 1 (korzystamy z monotoniczności całki oznaczonej), otrzymując:
f'(1) \le ef'(1) \le f'(0)czyli f'(1) \le f'(0) ale tutaj trochę utykam i też nie mam pewności czy te pochodne w ogóle istnieją. I czy to rozwiązanie da się jakoś uratować albo pociągnąć dalej?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 22:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13931
Lokalizacja: Wrocław
Pomysł szedł w dobrą stronę, e^x zdecydowanie coś tu daje (ale istotnie nie mamy zagwarantowanej różniczkowalności na końcach przedziału), przy czym ja bym tu od razu zauważył, że e^x f(x)+2f'(x)e^x+e^xf''(x)=\left( e^x f(x)\right)'', czyli nierówność z założenia mówi nam, że funkcja g(x)=e^x f(x) jest wklęsła na (0,1), a jako że jest ciągła, to na domkniętym przedziale też. Funkcja wklęsła przyjmuje swoje minimum na przedziale w (co najmniej) jednym z jego końców, korzystamy z f(0)=f(1)=0 i po dowodzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pochodna funkcji  Anonymous  1
 Dziedzina Pochodnej  Anonymous  1
 Przebieg zmiennosci funkcji  Anonymous  3
 pochodna funkcji w punkcie  Anonymous  5
 Pochodna funkcji - zadanie 2  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl