szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2019, o 19:32 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Warszawa
Witam serdecznie!

Jestem uczniem liceum i przygotowuję się aktualnie do półfinału konkursu PW MiNi. Natrafiłem na zadanie z tegoż właśnie konkursu, które obecnie nie wiem nawet jak ruszyć.

Ciągi a_{n}, b_{n} liczb całkowitych, dla n\in C_{+}, określone są zależnością (2+ \sqrt{3})^{n}= a_{n}+ b_{n} \sqrt{3}.
Oblicz (o ile istnieje) granicę \lim_ {n \to \infty }\frac{a _{n} }{b _{n} }.

Pozdrawiam i proszę o pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2019, o 19:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13689
Lokalizacja: Wrocław
Odnotujmy, że
\left( 2+\sqrt{3}\right)^{n+1}=(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n=\\= (2+\sqrt{3})(a_n+b_n \sqrt{3})=\\=(2a_n+3b_n)+\sqrt{3}(a_n+2b_n)
Czyli dostajemy zależności rekurencyjnie:
a_{n+1}=2a_n+3b_n\\ b_{n+1}=a_n+2b_n
Ponadto a_1=2, \ b_1=1. Można z tej zależności rekurencyjnej wyznaczyć jawne wzory na a_n i b_n, ale nie trzeba. Jak to jest konkurs, to resztę zostawiam dla Ciebie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 mar 2019, o 19:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2055
Lokalizacja: hrubielowo
Albo zauważmy, że (2- \sqrt{3})^{n}= a_{n}- b_{n} \sqrt{3} mnożąc stronami z wejściową równością dostajemy zależność

1=a_n^2-3b_n^2

czyli

\frac{a_n}{b_n}= \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} }

zatem

\lim_{n \to  \infty }\frac{a_n}{b_n}=  \lim_{n \to  \infty } \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} } =...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Czy istnieją ciagi liczb o własnościach ... ?  Anonymous  3
 Granica ilorazu ciągów a zbiór R_+  Arek  6
 Granica ciągu z pierwiastkiem - zadanie 21  Anonymous  3
 Granica ciągu  mynihon  2
 Granica ciągu - zadanie 1317  Grzebyq  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl