szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 01:49 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
E-przestrzeń ciągów ograniczonych, \{x_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathbb{R}, gdzie x=\{x_n\}_{n=1}^\infty. Czy to są normy:
a) ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}
b) ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}.
W przykładzie b mam takie rozważania:
1. ||x||\ge 0
||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}, ponieważ |x_n|\ge 0 z własności wartości bezwzględnej i 2^n\ge 0 więc iloraz będzie większy lub równy 0, stąd suma również.
2. ||x||=0\Leftrightarrow x=0
||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=0\Leftrightarrow \forall i |x_i|=0\Leftrightarrow x=0=(0,0,0,...)
3. ||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||
||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha\cdot x_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha|\cdot|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot||x||
4. ||x+y||\le||x||+||y||
||x+y||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n+y_n|}{2^n}\le\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|+|y_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}+\sum_{n=1}^\infty \frac{|y_n|}{2^n}=||x||+||y||
Nie wiem czy a) będzie wyglądać identycznie jak b) bo wydaje mi się, że suma \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n} nie będzie ograniczona, a suma z przykładu b) \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n} jest ograniczona. Proszę o sprawdzenie rozwiązania i pomoc :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 08:54 
Użytkownik

Posty: 16601
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zapomniałeś o jednym warunku: norma jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.
Musisz więc pokazać, że jeżeni x jest ograniczony, to ||x|| jest liczbą.

Jak słusznie podejrzewasz w przypadku b tak jest, a w a powinieneś skonstruować nietrudny kontrprzykład.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczanie skalara z normy  kropkax  3
 Normy funkcjonałów  Lasagne  5
 obliczanie normy  RudaMa?aWied?ma  3
 Wyznaczenie normy i inne.  Magda0601  7
 Obliczanie normy całkowej - zadanie 2  Hideki  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl