szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 00:46 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Czy podane normy są równoważne ze standardową normą na \math{l}^1, gdzie \{c_i\}_{i=1}^\infty oznacza ustalony ciąg z c_i\in[m,M] m,M>0.
||x||=\sum_{n=1}^\infty c_n\cdot|x_n|
||x||=\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{2^n}
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:03 
Użytkownik

Posty: 1076
Lokalizacja: Ostrołęka
Czy podjąłeś jakieś próby rozwiązania? Gdzie pojawia się problem?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
w przykładzie 2. nie jestem pewien, czy można rozbić sumę na iloczyn sum i składnik \frac{1}{2^n} zsumuje się do 1. Pozostanie wtedy: \sum_{n=1}^\infty |x_n|. Normy są równoważne jeżeli istnieją stałe \alpha,\beta takie, że:
\alpha\cdot ||x||_1\le||x||_2\le\beta\cdot||x||_1.
Standardowa norma w \math{l}^1, to \sum_{n=1}^\infty |x_n|. Więc wtedy te współczynniki \alpha,\beta są równe 1?
Tylko to wpadło mi do głowy :(
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14088
Lokalizacja: Wrocław
Jeśli chodzi o pierwszy przykład, to wystarczy skorzystać z nierówności m<c_n<M i postaci standardowej normy w \ell^1.
Co do drugiego przykładu, oczywiście że nie możesz tak zrobić. A czy zachodzi na przykład
\left(\frac 1 2+\frac 1 4\right)(2+4)=\frac 1 2\cdot 2+\frac 1 4\cdot 4 :?:
W drugim przykładzie te normy nie będą równoważne, należy uzasadnić, że nie istnieje taka stała dodatnia c, że dla każdego ciągu z \ell^1 będzie
c \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|}{2^n} \ge  \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|
Spróbuj „wyprodukować" takie ciągi (x_n)^{(m)} z \ell^1 (to naprawdę nietrudne), że
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n} będzie ograniczone przez jakąś wygodną liczbę (np. 1), zaś sumy postaci \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^{(m)}| mogą być dowolnie duże.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:54 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Premislav napisał(a):
Jeśli chodzi o pierwszy przykład, to wystarczy skorzystać z nierówności m<c_n<M i postaci standardowej normy w \ell^1.

Czyli końcowy zapis wyglądałby tak:
m\cdot \sum_{n=1}^\infty |x_n| \le \sum_{n=1}^\infty c_n\cdot|x_n|\le M\cdot \sum_{n=1}^\infty |x_n|
?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:55 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14088
Lokalizacja: Wrocław
Tak, może być.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 02:04 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Premislav napisał(a):
Spróbuj „wyprodukować" takie ciągi (x_n)^{(m)} z \ell^1 (to naprawdę nietrudne), że
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n} będzie ograniczone przez jakąś wygodną liczbę (np. 1), zaś sumy postaci \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^{(m)}| mogą być dowolnie duże.

Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale czy chodzi o ciąg np: (0,0,0,...,1,...,0,0,0,0), czyli na n-tym miejscu stoi 1. Co dalej? Chyba nadal nie rozumiem :(
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 02:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 14088
Lokalizacja: Wrocław
Myślałem o tym inaczej, ale to też jak najbardziej jest dobry pomysł. Standardowa norma w \ell^1 dla każdego takiego ciągu wyniesie 1, zaś
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n} dla ciągu (x_n^{(m)})_{n\in \NN^+} mającego na m-tym miejscu jedynkę, a poza tym zera będzie wynosiła \frac{1}{2^m}, co może być dowolnie małe.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równoważność norm - zadanie 9  21mat  2
 Równoważność norm - zadanie 16  rose93  1
 równoważność norm - zadanie 3  repoka  1
 równoważność norm - zadanie 10  Karolina93  2
 równoważność norm - zadanie 4  mysoulleftme  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl