szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 00:38 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Rozpatrujemy przestrzeń C[a,b], na niej funkcję daną wzorem:
d(f,g)=\min \{2,\sup _{t\in[a,b]}(|f(t)-g(t)|)\}.
Czy d jest metryką?
Doszedłem do tego, że warunek d(f,g)\ge 0 jest spełniony, ponieważ 2\ge 0 i supremum z wartości bezwzględnej jest większe lub równe zero.
d(f,g)=0\Leftrightarrow f=g. supremum będzie 0, gdy f=g. Wtedy otrzymuję \min \{2,0\}=0, czyli też warunek jest spełniony.
Symetria d(f,g)=d(g,f) też zachodzi.
Nie wiem jak poradzić sobie z warunkiem trójkąta: d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g).
Proszę o pomoc i sprawdzenie mojego toku rozumowania :)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13878
Lokalizacja: Wrocław
Na razie wygląda OK, może tylko za bardzo zbyłeś kwestię symetrii (chociaż rzeczywiście jest dość jasna). W tej nierówności trójkąta wystarczy ustalić dowolne funkcje f,g,h\in C[a,b] i rozważyć dwa przypadki: d(f,g)\ge 2 oraz d(f,g)< 2, wychodzi dość automatycznie.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 01:44 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Premislav napisał(a):
Na razie wygląda OK, może tylko za bardzo zbyłeś kwestię symetrii (chociaż rzeczywiście jest dość jasna).

Chodziło mi tu o to, że jeżeli zamienimy kolejność w nawiasie minimum, to nie zmienia wyniku, bo wybieramy "najmniejszy" składnik. Mam nadzieję, że dobrze myślę, bo już czasem człowiek głupieje przy prostych rzeczach.
Nadal nie rozumiem o co chodzi z nierównością trójkąta. Czy mam wybrać konkretne funkcje z C[a,b]? Np. x,x^2,x^3? Czy mógłbyś mi rozpisać ten warunek?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 02:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13878
Lokalizacja: Wrocław
Raczej z symetrią, to ona wynika z tego, że |x-y|=|y-x| dla dowolnych rzeczywistych x,y, stąd bowiem |f(t)-g(t)|=|g(t)-f(t)| dla dowolnych f,g\in C[a,b] i t\in[a,b], no i w związku z tym suprema też są równe.

Cytuj:
Czy mam wybrać konkretne funkcje z C[a,b]? Np.x,x^2,x^3?

Nie, masz to zrobić w ogólności, przecież mogłyby się zdarzyć inne funkcje, które tego nie spełniają

Ustalmy dowolne funkcje f,g,h\in C[a,b]. Uzasadnimy, że zachodzi
d(f,g)\le d(f,h)+d(h,g). rozważmy w tym celu dwa przypadki:
1^{\circ} Jeżeli \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|\ge 2, to d(f,g)=2. Przypuśćmy nie wprost, że wówczas d(f,h)+d(h,g)<2. To oczywiście oznacza, że
\sup_{t\in [a,b]}|f(t)-h(t)|<2 i \sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|<2 (w przeciwnym razie mamy po lewej stronie nierówności d(f,h)+d(h,g)<2 sumę dwójki i czegoś nieujemnego). Zatem
d(f,h)+d(h,g)=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|+\sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|\ge \\ \ge \sup_{t\in [a,b]}\left( |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\right).
(nie chce mi się udowadniać tej nierówności, powinna być jasna; w związku z tym, że funkcja ciągła na niepustym zbiorze zwartym osiąga kresy, dowód tej nierówności jest bardzo łatwy, gdyż można po prostu wziąć punkt realizujący to \sup_{t\in [a,b]}\left( |f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\right)).
Ponadto ze zwykłej nierówności trójkąta dla wartości bezwzględnej dla każdego t\in [a,b] mamy
|f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)|\ge |f(t)-g(t)| i z uwagi na to, że wzięcie supremum zachowuje słabe nierówności (tez mi się nie chce tego udowadniać)
\sup_{t\in [a,b]}\left(|f(t)-h(t)|+|h(t)-g(t)| \right) \ge \sup_{t\in [a,b]}\left(|f(t)-g(t)| \right),
ale przecież rozważamy przypadek, w którym \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|\ge 2
Otrzymaliśmy: 2>d(f,h)+d(h,g)\ge 2, czyli sprzeczność.

2^{\circ} Jeżeli \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|< 2, to d(f,g)=\sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)| i albo któraś z wartości \sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|, \sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)| jest nie mniejsza niż 2, a wtedy
d(f,g)<2\le d(f,h)+d(h,g), czyli koniec, albo obie są mniejsze niż 2 i wtedy znów sprawa sprowadza się do nierówności
\sup_{t\in[a,b]}|f(t)-h(t)|+\sup_{t\in [a,b]}|h(t)-g(t)|\ge \sup_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 02:28 
Użytkownik

Posty: 35
Lokalizacja: Gdynia
Dziękuję za pomoc, teraz muszę to przetrawić :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 19:58 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8337
Lokalizacja: Wrocław
Proponuję w trzech częściach:

(1) d_0(f, h) \le d_0(f, g) + d_0(g, h), gdzie d_0(f_1, f_2) = \sup_{t \in [a, b]} |f_1(t) - f_2(t)|.

Dowód: ustalmy f, g, h \in C[a, b]. Dla każdego t \in [a, b] zachodzi

{|f(t) - h(t)| = |f(t) - g(t) + g(t) + h(t)| \le |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \le d(f, g) + d(g, h)}.

Prawa strona jest więc ograniczeniem górnym zbioru \{ |f(t) - h(t)| : t \in [a, b] \}, zatem

d(f, h) = \sup_{t \in [a, b]} |f(t) - h(t)| \le d(f, g) + d(g, h).

(2) Dla dowolnych x, y, z \in \RR jeśli x \le y + z, to \min \{ 2, x \} \le \min \{ 2, y \} + \min \{ 2, z \}.

Dowód: rozważmy dwa przypadki. Jeśli któreś z minimum po prawej wynosi 2, to

\min \{ 2, x \} \le 2 \le 2 + \text{drugie minimum} = \min \{ 2, y \} + \min \{ 2, z \}.

W przeciwnym razie prawa strona wynosi y+z, więc

\min \{ 2, x \} \le x \le y + z,

co kończy dowód.

(3) Stosując (2) do x = d_0(f, h), y = d_0(f, g), z = d_0(g, h), dostajemy d(f, h) \le d(f, g) + d(f, h).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 16593
Lokalizacja: Bydgoszcz
A może tak: jeżeli e jest metryką i a>0, to d=\min\{a,e\} jest metryką

d(x,t)+d(t,y)=\min\{a,e(x,t)\}+\min\{a,e(t,y)\}\\
=\min\{2a,a+e(x,t),a+e(t,y),e(x,t)+e(t,y)\}\\
\geq \min\{a,e(x,t)+e(t,y)\}\geq \min\{a,e(x,y)\}=d(x,y)

A to, że e(x,y)=\sup_t |x(t)-y(t)| jest metryką jest elementarne
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy funkcja jest metryką?  Anne  3
 Jest to przestrzena metryczna jesli spelnione sa warunki...  Naiya  4
 (2 zadania) Wykazać, że t\A jest topologia itp.  DominikaWarzech  1
 Odległość hausdorffa jest metryką!  mada  0
 Metryka Hamminga - dowód?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl