szukanie zaawansowane
 [ Posty: 27 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2019, o 14:26 
Użytkownik

Posty: 716
Lokalizacja: Polska
Zad. 5. Gdy spojrzymy na rysunek pierwszy w pierwszym i drugim rzędzie to zauważymy że ścianka pudełka nie kończy się na „końcu” czwartego kwadracika.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2019, o 14:40 
Administrator

Posty: 24745
Lokalizacja: Wrocław
Elayne napisał(a):
Zad. 5. Gdy spojrzymy na rysunek pierwszy w pierwszym i drugim rzędzie to zauważymy że ścianka pudełka nie kończy się na „końcu” czwartego kwadracika.

Ale kończy się tuż za nim...

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2019, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Samoklęski/Osiek Jasieski/Jasło/Kraków
Witajcie :) W przedostatnim zadaniu mój wynik jest mniejszy od podanego przez Sylwka o jedną dziesiątą. Sprawdzałem dla różnych przybliżeń i w każdym przypadku zaokrąglenie wychodzi takie samo... O ile rzeczywiście nie pomyliłem się nigdzie w tym zadaniu, to wychodzi na to, że mam dwie pomyłki: w zadaniu z przyjaciółmi (w obu odpowiedziach podałem inicjały w odwrotnej kolejności - wtedy jednak nie jest spełniony warunek o prawdomówności Edwarda) oraz zadaniu z gramofonem (wyszło mi zdjęcie numer 10, ale byłoby ono dopiero drugie w kolejności). Ogólnie zadania oceniam jako dość wymagające jak na ten etap (sam też miałem problem z odpowiednim zrozumieniem tego ze znaczkami i wcale się nie dziwię co do tych różnych propozycji odpowiedzi). Również uważam, że w zadaniu z klockami powinna zostać uwzględniona poprawność dwóch odpowiedzi. Zadania z planimetrii stosunkowo proste (może dlatego, że jakoś szczególnie lubię geometrię płaską) - tym bardziej ze względu na ich współczynniki trudności (to z lasem robiłem niemal identycznie jak loitzl9006, czyli przez metodę przyrównania pól, licząc pole wyjściowego trójkąta na dwa sposoby, później z kolei potwierdziłem otrzymany wynik sposobem opisanym przez Sylwka). Trudne zaś i pracochłonne - przynajmniej jak dla mnie - były zadania: z kryptarytmem i ostatnie - z równaniem diofantycznym (moim pomysłem było odjęcie od obu stron równania sześcianu jednej z niewiadomych i badanie podzielności przez 19). Bardzo dużo czasu poświęciłem też na zadanie z kwadratami liczb i ich odwrotnościami, aby wpaść na właściwy trop.

PS. Również miałem problemy z wysłaniem formularza. W końcu wyskoczył mi błąd 504 i ostatecznie postanowiłem przesłać swoje odpowiedzi mailowo po jakimś czasie (ale dopiero za kwadrans 18:00 jakoś). Nie miałem nawet jak porobić screenów (jak zrobił to Sylwek), natomiast wczoraj jeszcze widziałem na oficjalnej stronie Mistrzostw notkę o tym, że wiedzą o problemie, przepraszają za niego i proszą o kontakt mailowy (przesłanie swoich odpowiedzi) wszystkie te osoby, które nie otrzymały maila z potwierdzeniem o prawidłowym zapisaniu formularza odpowiedzi. Dodali też, że nie będzie brany po uwagę czas wysłania odpowiedzi. W dodatku spostrzegłem się później, że w wiadomości napisałem o tym, że problemy z przesłaniem formularza miałem około godziny 17:58 zamiast 16:58 :D
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2019, o 15:39 
Użytkownik

Posty: 26
Lokalizacja: Częstochowa
@pitgot: Po usunięciu niewymierności z mianownika bok kwadratu wynosi 40-20\sqrt3, a pole 2800-1600\sqrt3. W zależności od przyjętego przybliżenia wychodzi 28,7 albo 28,8. Choć ta pierwsza wartość jest bliższa prawdy, to zgodna z treścią zadania wydaje się jednak ta druga.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 17 mar 2019, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Samoklęski/Osiek Jasieski/Jasło/Kraków
Adam274 napisał(a):
@pitgot: Po usunięciu niewymierności z mianownika bok kwadratu wynosi 40-20\sqrt3, a pole 2800-1600\sqrt3. W zależności od przyjętego przybliżenia wychodzi 28,7 albo 28,8. Choć ta pierwsza wartość jest bliższa prawdy, to zgodna z treścią zadania wydaje się jednak ta druga.


Faktycznie, przyznaję rację :) Ja z kolei za najprostszą uznałem inną postać tej liczby (z kwadratem), stąd też taki właśnie wynik uzyskałem. Dzięki za to wyjaśnienie - zobaczymy jak na to spojrzą ;)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2019, o 01:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Jan Kraszewski napisał(a):
Elayne napisał(a):
Zad. 5. Gdy spojrzymy na rysunek pierwszy w pierwszym i drugim rzędzie to zauważymy że ścianka pudełka nie kończy się na „końcu” czwartego kwadracika.

Ale kończy się tuż za nim...

JK
Ja uznałem, że to wystarczy, żeby ten 5. klocek się "utrzymał". Choć, oczywiście - przyznaję rację, sam szukałem w treści sformułowania "o odpowiednio długim boku" lub czegoś podobnego ;-)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2019, o 02:40 
Administrator

Posty: 24745
Lokalizacja: Wrocław
Sylwek napisał(a):
Ja uznałem, że to wystarczy, żeby ten 5. klocek się "utrzymał". Choć, oczywiście - przyznaję rację, sam szukałem w treści sformułowania "o odpowiednio długim boku" lub czegoś podobnego ;-)

Ja potraktowałem to jako dość oczywiste zadanie na zliczanie, stąd 7, ale jak zobaczyłem odpowiedź córki, to zrozumiałem, że ona widzi to zupełnie inaczej - na ile sposobów może dodać piąty klocek do narysowanych obrazków.

Czyli typowy problem ze sformułowaniem i "domniemaną interpretacją".

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Samoklęski/Osiek Jasieski/Jasło/Kraków
Na stronie Mistrzostw pojawiły się oficjalne odpowiedzi :)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 22 mar 2019, o 14:08 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
O 18 powiem trochę więcej - kilka obserwacji, nie wszystkie przydatne ;-) .

Starałem się rozwiązać problem w ogólności - dla a,b,c \in Z_+, ale póki co mi się to nie udało.

a) Wystarczy szukać trójek liczb względnie pierwszych:    
b) Wystarczy szukać trójek liczb parami względnie pierwszych:    
c) Badanie NWD nawiasów powstałych ze wzorów skróconego mnożenia:    
d) Mamy b>c ;-):    
e) Modulo 4:    
f) Modulo 5:    
g) Modulo 19:    


Tak naprawdę, połączenie wniosków (b), (d), (e), (f), (g) pokazuje, że...
Szkic rozwiązania zad. 18.:    
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 21:42 
Administrator

Posty: 24745
Lokalizacja: Wrocław
pitgot napisał(a):
Na stronie Mistrzostw pojawiły się oficjalne odpowiedzi :)

No i uznali w zad. 5 obie odpowiedzi.

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 23 mar 2019, o 21:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 2703
Lokalizacja: Warszawa
Próbowałem zrobić to zad. 18 w całym Z_+ i okazało się, że istnieją inne rozwiązania niż te powstające z (13,7,6).

Dla ciekawych i na przyszłość - napiszę coś więcej.

Podpowiedziała mi osoba, która mocno siedzi w teorii liczb, więc podzielę się z Wami metodą, która pozwala zrobić takie rzeczy. O ile rozumiem, ma to pewien związek z krzywymi eliptycznymi, ale że nie znam się na temacie, pokażę tylko zastosowanie w tym przykładzie.

Przekształcamy to równanie do równania \left( \frac{a}{b} \right)^3 + 20 \left( \frac{c}{b} \right)^3 = 19. Niech x=\frac{a}{b} oraz y=\frac{c}{b}, szukamy więc wymiernych rozwiązań równania x^3+20y^3=19 (docelowo - wymiernych dodatnich).

Nasze równanie opisuje funkcję y=\sqrt[3]{\left( \frac{19-x^3}{20} \right)}.

Jak już ustaliliśmy, pasuje (a,b,c)=(13,7,6), co nam daje (x,y)=\left( \frac{13}{7}, \frac{6}{7} \right). Ponadto, zauważmy, że pasuje też para (x,y)=(-1,1).

Jeśli puści się prostą przechodzącą przez dwa wymierne rozwiązania naszego równania, oczekuję, że ta prosta przetnie wykres naszej funkcji w punkcie o obu współrzędnych wymiernych. To samo działa dla stycznej, bo będzie to "zwykle" działać jak "podwójny pierwiastek". Ja to rozumiem tak, że jeśli dla pewnych r,s \in Q napiszemy \sqrt[3]{\left( \frac{19-x^3}{20} \right) }=rx+s i podniesiemy to do trzeciej, to otrzymamy równanie trzeciego stopnia (tu akurat zawsze, ale tak w ogólności, to o ile się nie skróci współczynnik przy x^3), a z wzorów Viete'a - jeśli dwa pierwiastki będą wymierne, to trzeci też, wtedy też y=rx+s będzie wymierny.

Przejdę do wyników.

Nie przedłużając - oznaczmy A=\left( \frac{13}{7}, \frac{6}{7} \right), B=(-1,1). Puszczam styczną do wykresu funkcji w A, a jej inny punkt wspólny z wykresem naszej funkcji wychodzi C=\left( \frac{-140.881}{14.861} , \frac{52.284}{14.861} \right) \approx (-9,5; 3,5).

Dalej, puszczam styczną do wykresu funkcji w C, a jej punkt inny punkt wspólny z wykresem naszej funkcji wychodzi
D=\left( \frac{411.491.854.416.744.335.039}{84.033.274.178.618.129.981} , \frac{-142.932.466.128.008.350.968}{84.033.274.178.618.129.981} \right) \approx (4,9; -1,7).

Trzymacie się jeszcze? :D

W końcu, gdyby nanieść te punkty na wykres naszej funkcji, można zauważyć, że łącząc A z D powstanie nam nowy punkt przecięcia z wykresem o obu współrzędnych dodatnich (przynajmniej można mieć taką nadzieję na pierwszy rzut oka ;) ).

Tym razem Wolfram mówi, że ten rzeczony punkt to:
E=\left( \frac{169.220.050.679.877.046.880.484.106.336.307}{63.544.263.803.101.961.630.643.642.865.913}, \frac{11.370.580.519.326.747.476.678.556.840.030}{63.544.263.803.101.961.630.643.642.865.913} \right) \approx (2,66; 0,18).

To oznacza, że
a=169.220.050.679.877.046.880.484.106.336.307 (33 cyfry)
b=63.544.263.803.101.961.630.643.642.865.913 (32 cyfry)
c=11.370.580.519.326.747.476.678.556.840.030 (32 cyfry)
są innym parami względnie pierwszym (łatwo sprawdzić ;-) ) rozwiązaniem naszego równania.

Jak kogoś zabiło to, co się stało, i od razu przewinął do dołu - PODSUMOWANIE - wyznaczałem kolejne rozwiązania pewnego równania aby dojść, że powyższe ogromne liczby a, b, c stanowią pewne rozwiązanie początkowego równania, którego to rozwiązania nie da się otrzymać z (13,7,6).

To kończy moje zaciekawienie tym zadaniem, bo to oznacza, że istnieją astronomiczne nietrywialne rozwiązania naszego zadania, jeśli szukać w całym Z_+.

I przy okazji nauczyłem się nowych rzeczy ;-) . Choć takich wielkich liczb jeszcze nigdy nie użyłem w praktyce...
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 mar 2019, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Kanie
Dziś dotarł do mnie email z informacją o kwalifikacji :D Może ktoś z Was pamięta, czy w poprzednich edycjach też był taki wysoki próg dla L1 (czyli 15) na drugim etapie?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 27 ]  Przejdź na stronę Poprzednia strona  1, 2


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kangur 2019 Maluch  mkursor  4
 GMiL - edycja 2016  Skrzypu  30
 Konkurs Politechniki Warszawskiej 2018  pawlo007  2
 XVII Olimpiada Lingwistyki Matematycznej (2018/2019)  Hayran  7
 MM w GMiL 2009/10  Mruczek  76
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl