szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2019, o 11:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Wrocław
Niech E \subset \RR i f_{n}, \ g_{n} \in C(E). Załóżmy, że f_{n} i g_{n} są jednostajnie zbieżne. Wykaż, że ciąg funkcyjny f_{n}+g_{n} jest jednostajnie zbieżny.

Czy moje rozumowanie jest poprawne?

Skorzystam tutaj z definicji zbieżności jednostajnej, że f_{n} \rightarrow f_{0} \Leftrightarrow f_{n} \rightarrow f_{0} w normie \ \left| \left|  \cdot \right| \right|_{ \infty } tzn. \left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0

To w takim razie skoro f_{n} \ i \ g_{n} są zbieżne to \left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0 \ i \ \left| \left| g_{n} - g_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0

{\left\| f_{n}+g_{n}-(f_{0}+g_{0}) \right\|_{ \infty }= \left\| f_{n}-f_{0}+g_{n}-g_{0} \right\|_{ \infty } \le \left\| f_{n} - f_{0} \right\|_{ \infty } + \left\| g_{n} - g_{0} \right\|_{ \infty }  \rightarrow 0},
więc f_{n}+g_{n} jest zbieżny jednostajnie.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2019, o 18:26 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8382
Lokalizacja: Wrocław
Z lekkim przymrużeniem oka, bo bez zwartości E norma \| \cdot \|_{\infty} nie jest dobrze określona na całym C(E), ale tak - jest poprawne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 5 mar 2019, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 4794
Niech F_{n} = \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}, \ \ G_{n}=\| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}

Wtedy

H_{n} = \| (f_{n}+g_{n})- (f_{0}+g_{0})\| _{\infty}< \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}+ \| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}\leq  F_{n}+G_{n}

Ale \lim_{n\to \infty}F_{n} = \lim_{n\to \infty} G_{n} = 0.

Skąd \lim_{n\to \infty} H_{n} = 0

Z twierdzenia o trzech ciągach:

f_{n} + g_{n} \rightrightarrows f_{0} +g_{0}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Objętość części wspólnej dwóch walców  kzez1986  1
 granice funkcji dwóch zmiennych:  kortos  2
 funkcja dwóch zmiennych, wykres, bijekcja, funkcja odwrotn  CHAPEK  0
 granice funkcji dwoch zmiennych  kasiabb  5
 zbadać zbieżność całki niewłaściwej pierwszego rodzaj  koolzoli  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl