szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 15:25 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Wrocław
Dany jest ciąg \vec{v}_{n} \in E_{k}, \ k \in \NN, \  \vec{v}_{n}=(x_{n,1},...,x_{n,k}). Wykaż, że \vec{v}_{n} \rightarrow  \vec{v} \Leftrightarrow \forall i =1,...,k \ x_{n,i}  \rightarrow 
 x_{i}, gdzie \vec{v}=(x_{1},...,x_{k}).
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 17:53 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
Jaką masz definicję tego, że \vec{v_n} \to \vec{v}?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 18:24 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: Sosnowiec
Ja podejrzewam, że E_k jest tutaj produktem k przestrzeni topologicznych (nie wiem, czy nie trzeba założenia, że są one Hausdorffa), a zbieżność \vec{v_n}\to\vec{v} to zbieżność w topologii produktowej.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 18:52 
Administrator

Posty: 24742
Lokalizacja: Wrocław
matmatmm napisał(a):
Ja podejrzewam, że E_k jest tutaj produktem k przestrzeni topologicznych

E_k to jak sądzę k-wymiarowa przestrzeń euklidesowa.

JK
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 19:06 
Użytkownik

Posty: 4787
Zbieżność w przestrzeni E^{k} (euklidesowej ) jest równoważna ze zbieżnością po współrzędnych.

Wprowadzamy odwzorowanie \pi:  R^{k}\rightarrow \RR,

\pi_{i}(\vec{x}) = \pi (x_{1}, x_{2},....x_{k}) = x_{i}, \  \ i=1,2,...,k. (rzut na i-tą oś )

Musimy wykazać równoważność implikacji:

(i) \ \  \vec{x_{n}} \rightarrow \vec{x_{0}}, n=0,1,2...,

(ii) \ \ \forall i =1,...,k, \ \pi_{i}(x_{n}) \rightarrow \pi_{i}(x_{0}).

Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że \vec{x_{0}}= 0.

(i) \rightarrow (ii)

Zauważ, że zachodzi oszacowanie:

|\pi_{i}(x_{n})| \leq \parallel x_{n} \parallel, \ \ i=1,2,...k
................................................

(ii) \rightarrow (i)

Załóż, że istnieje takie n_{o}> N \rightarrow  |\pi_{i}(x_{n})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{k}}, \ \ i=1,2,...,k
..............................................................................................
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 22:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Wrocław
Dasio11, Miałem podaną taką definicję zbieżności:
\forall \varepsilon >0 \  \exists N \in \RR \  \forall n>N \left| \left|  \vec{v}_{n}- \vec{v}  \right| \right|< \varepsilon
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 4 mar 2019, o 00:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
No to proponuję żebyś zaczął dowód jednej z implikacji - rozpisz z definicji, jak wyglądają założenie i teza.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 mar 2019, o 18:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Wrocław
Dasio11, czy to co zrobiłem ma jakiś sens?

Niech \vec{b}_{n}=x_{n} \ , \  \vec{b}=x.
\forall \varepsilon >0 \  \exists N \in \RR \  \forall n>N \left| \left| \vec{b}_{n} - \vec{b} \right| \right| < \varepsilon  \Rightarrow \left| x_{n}-x\right|< \varepsilon  \Rightarrow \forall i=1,...,k \ x_{n,i} \rightarrow x_{i}
\forall \varepsilon k >0 \ \exists N \in \RR \ \forall n>N \ \left| \left| \vec{v}_{n}- \vec{v}\right| \right| < \varepsilon k \ \forall k \in \NN  \Rightarrow
\sqrt{(x_{n,1}-x_{1})^2+...+(x_{n,k}-x_{k})^2} <\varepsilon k
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 mar 2019, o 22:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
Niezbyt, dlatego że dowód w matematyce polega na przeprowadzeniu czytelnego rozumowania, które uzasadnia prawdziwość tezy. Ty zaś napisałeś trochę formuł matematycznych i nic poza tym. W szczególności, nie powinieneś używać symbolu \Rightarrow zamiast wyrazu "więc".

Zacznijmy od początku. Teza ma charakter równoważności:

\vec{v_n} \to \vec{v} \iff (\forall i = 1, \ldots, k) \, x_{n, i} \to x_i,

więc należy udowodnić dwie implikacje.

(Nawiasem mówiąc, zapis prawej strony jest bardzo potoczny. Poprawniej byłoby: (\forall i \in \{ 1, \ldots, k \}) \, x_{n, i} \to x_i. )

W dowodzie implikacji (\implies) zakładamy, że zachodzi

\vec{v_n} \to \vec{v}, \quad (*),

i dla każdego i \in \{ 1, \ldots, k \} próbujemy uzasadnić, że zachodzi x_{n, i} \to x_i. W tym celu możemy skorzystać z założenia (*).

W dowodzie implikacji przeciwnej postępujemy analogicznie: zakładamy, że zachodzi (\forall i \in \{ 1, \ldots, k \}) \, x_{n, i} \to x_i, i dowodzimy, że \vec{v_n} \to \vec{v}.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2019, o 19:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 160
Lokalizacja: Wrocław
Dasio11, Implikacje w lewo mi się udało udowodnić:

' \Leftarrow ' \ \ \ \forall \varepsilon>0 \  \exists N_{i} \in \RR \  \forall n>N_{i} \ \left| \left| x_{n,i}-x_{i}\right| \right|< \frac{\varepsilon}{ \sqrt{k} } Niech N=max\left\{ N_{1},...,N_{k}\right\} Jeżeli \forall(n) \ n>N to zachodzą wszystkie nierówności, więc \left| \left|  \vec{v}_{n}-\vec{v} \right| \right| <\varepsilon, więc \vec{v}_{n} \rightarrow \vec{v} Ale jak to zrobić w prawo??
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 18 mar 2019, o 23:14 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8381
Lokalizacja: Wrocław
camillus25 napisał(a):
Dasio11, Implikacje w lewo mi się udało udowodnić
Nie chciałbym zabrzmieć, jakbym czegoś od Ciebie wymagał, ale wiedz, że w Twoim dowodzie dobra jest tylko metoda, natomiast od strony formalnej wygląda on raczej kiepsko.

camillus25 napisał(a):
Ale jak to zrobić w prawo??
Podobnie, ale prościej: jeśli od pewnego miejsca zachodzi nierówność \| \vec{v_n} - \vec{v} \| < \varepsilon, to tym bardziej zachodzi | x_{n, i} - x_i | < \varepsilon, bo ogólnie

| x_{n, i} - x_i | = \sqrt{ ( x_{n, i} - x_i )^2 } \le \sqrt{ (x_{n, 1} - x_1)^2 + \ldots + ( x_{n, k} - x_k )^2 } = \| \vec{v_n} - \vec{v} \|.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbieżność ciągu - zadanie 37  skolukmar  3
 zbieżność ciągu - zadanie 76  anetaaneta1  18
 zbieżność ciągu - zadanie 77  anetaaneta1  10
 Zbieżność ciągu - zadanie 82  studenttt91  10
 Zbieżność ciągu - zadanie 92  niebieski93  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl