szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 3 mar 2019, o 13:41 
Użytkownik

Posty: 27
Lokalizacja: Gdynia
Hejka, mam takie zadanie w którym jest parę różnych założeń i nie mam zielonego pojęcia jak je połączyć:
Niech f: \RR  \rightarrow  \RR będzie funkcją różniczkowalną i niech f(0)=0. Przypuśćmy, że f(x)+f'(x) \le 1 dla x \in \RR. Udowodnij, że f(1)  \le  1-e ^{-1}. Czy to oszacowanie jest optymalne?

I nie za bardzo wiem jak się za to w ogóle zabrać
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 mar 2019, o 18:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13881
Lokalizacja: Wrocław
Cześć. Pomnóżmy nierówność f(x)+f'(x)\le 1 stronami przez e^x, a otrzymamy (wzór na pochodną iloczynu):
(e^x \cdot f(x))'\le e^x
Całkujemy tę nierówność w granicach od 0 do 1 (korzystamy z monotoniczności całki oznaczonej), otrzymując
ef(1)-f(0)\le e-1, teraz korzystamy z zależności f(0)=0, dzielimy stronami przez e i zadanie zrobione.
Co do optymalności stałej, prostszego pomysłu nie widzę, ale ja bym rozwiązał równanie różniczkowe f(x)+f'(x)=1, to wtedy nierówności staną się równościami. Ponownie domnażamy przez e^x, całkujemy i mamy e^xf(x)=e^x+C, czyli f(x)=1+Ce^{-x}, dobieramy teraz taką stałą C, by f(0)=0, tj. C=-1 i widzimy, że funkcja f_1(x)=1-e^{-x} spełnia warunki oraz realizuje nam równość w nierówności, czyli stała jest optymalna. Pewnie można też tę funkcję f_1(x) wytrzasnąć z sufitu, ale ja nie lubię takich zgadywanek.

Pozdrawiam pielgrzymów z Polski.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 pochodna funkcji  Anonymous  1
 Dziedzina Pochodnej  Anonymous  1
 Przebieg zmiennosci funkcji  Anonymous  3
 pochodna funkcji w punkcie  Anonymous  5
 Pochodna funkcji - zadanie 2  Anonymous  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl