szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 15:33 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Podczas czytania pewnego artykułu matematycznego, natrafiłem na miejsce w dowodzie, którego nie umiem przejść. Załóżmy, że (X,d) jest przestrzenią metryczną (ośrodkową i zupełną, ale nie wiem czy to ważne w moim pytaniu) oraz A\subset X jest otwarty i niepusty. Zdefiniujmy Y:=cl A. Załóżmy, że istnieje zbiór V\subset Y otwarty i niepusty w przestrzeni Y. Autor artykułu twierdzi, że wtedy istnieje kula otwarta B w przestrzeni (X,d) taka, że B \subset V. Proszę o pomoc w dowodzie, o ile to jest w ogóle prawda.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Definicja zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej się kłania.

Rodzina kul otwartych jest bazą topologii. Skoro V jest otwarty i niepusty, to istnieje x\in V i wprost z definicji bazy istnieje zbiór bazowy B (czyli kula otwarta) taki, że x\in B\subset V.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 16:29 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Ja mogę napisać, że dokładność się kłania :) Ja akurat definicję znam i to dobrze. Proszę zauważyć, że ta kula istnieje w przestrzeni Y, to nie jest to samo co kula w przestrzeni X. A w tezie chodzi o istnienie kuli w przestrzeni X.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 17:16 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Ale palnąłem gafę. Po chwili namysłu mam rozwiązanie. Wszystkie domknięcia i wnętrza są w przestrzeni X

Udowodnimy, że \mathrm{int}V\neq\emptyset.

Skoro V jest otwarty w \mathrm{cl}A, to istnieje zbiór U otwarty w X taki, że

V=U\cap\mathrm{cl}A

Z założenia V\neq\emptyset. Jedna z charakteryzacji domknięcia gwarantuje w tej sytuacji, że U\cap A\neq\emptyset.
Ponadto ponieważ A jest otwarty mamy

A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A

Ostatecznie

\emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 19:00 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8350
Lokalizacja: Wrocław
matmatmm napisał(a):
Ponadto ponieważ A jest otwarty mamy

A=\mathrm{int}A\subset \mathrm{int}\mathrm{cl}A

Ostatecznie

\emptyset\neq U\cap A\subsetU\subset U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}U\cap\mathrm{int}\mathrm{cl}A=\mathrm{int}(U\cap\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}V
Zamiast tego można było napisać, że U \cap A jest otwarty i U \cap A \subseteq V, więc \varnothing \neq U \cap A \subseteq \mathrm{int} \, V.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 19:37 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
matmatmm dziękuję za rozwiązanie a Dasio11 dziękuję za uproszczenie :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podprzestrzeń dyskretna przestrzeni topologicznej  Iluvatar  2
 Przykłady przestrzeni metrycznych  sneik555  4
 homotopijna równoważnosć przestrzeni  mmm849  2
 Domknięcie w przestrzeni unormowanej  ms7  2
 Istnienie zbioru otwartego zawierającego (0,0)  gendion  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl