szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 02:45 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 103
Lokalizacja: Olsztyn
[Pytanie]
Jeśli weźmiemy dwa zewnętrznie styczne okręgi S_1 i S_2 o różnych promieniach oraz ich wspólną styczną l. To istnieje dokładnie jeden czy dwa okręgi jednocześnie styczne do S_1, S_2, l? Dlaczego nie istnieją inne okręgi o tej własności?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 07:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie S_1 i S_2 są równe (i wynoszą R) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień x= \frac{R}{4}
b) Gdy promienie S_1 i S_2 są różne (i wynoszą R oraz r, i R>r) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r } oraz y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 08:10 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
kerajs napisał(a):
1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie S_1 i S_2 są równe (i wynoszą R) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień x= \frac{R}{4}
b) Gdy promienie S_1 i S_2 są różne (i wynoszą R oraz r, i R>r) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r } oraz y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.


Ad b) - jeden okrąg jest wpisany w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz łuki okręgów między punktami styczności. Ale nie widzę gdzie jest ten drugi.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 08:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Drugi okrąg będzie tak duży że w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz jego łuk i łuk okręgu danego o większym promieniu, można wpisać okrąg dany o promieniu mniejszym.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 15:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1558
Dlaczego nie nieskończenie wiele?

https://imgur.com/a/I9CgAIw
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 15:35 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
pesel napisał(a):
Dlaczego nie nieskończenie wiele?

https://imgur.com/a/I9CgAIw


Bo to jest opisane w przypadku 1)
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 15:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1558
Fakt, trzeba czytać całe wątki. Thx. :(
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 23:49 
Użytkownik

Posty: 1742
Lokalizacja: Sosnowiec
Rozważam przypadek, gdy wspólna prosta styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów. Oznaczam promienie przez R_1 i R_2 i zakładam, że R_1>R_2. Środki oznaczam przez O_1,O_2. Prostą styczną oznaczam przez l. Zakładam również, że szukamy okręgu stycznego zewnętrznie do obu danych okręgów.

Jeśli punkt O jest środkiem szukanego okręgu, to

OO_1-OO_2=R_1-R_2

oraz

OO_1-d(O,l)=R_1

, gdzie d(O,l) oznacza odległość O od prostej l.

Pierwsze równanie to równanie hiperboli, drugie równanie to coś w rodzaju paraboli plus półprosta (przykładowy wykres w wolframie ). Jak popatrzymy na wykresy tej hiperboli i tej drugiej figury, to widać, że przecinają się w dokładnie dwóch punktach, stąd nie może być więcej niż dwa okręgi o szukanej własności.

Zadanie jest delikatnie mówiąc trudne. Pełny dowód wymagałby pokazania, że istotnie te dwie figury nie mogą mieć więcej niż dwa punkty wspólne.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 26 lut 2019, o 23:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 103
Lokalizacja: Olsztyn
Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lut 2019, o 00:02 
Użytkownik

Posty: 16717
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dwie parabole mogą mieć i cztery punkty wspólne
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 27 lut 2019, o 15:31 
Użytkownik

Posty: 1742
Lokalizacja: Sosnowiec
Bratower napisał(a):
Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.


W tej wersji to uzasadnienie jest niepoprawne, ale można je "naprawić".

W moim poprzednim poście wskazałem, że jeśli O jest środkiem szukanego okręgu, to leży na hiperboli (a właściwie na jednej z gałęzi) oraz na pewnej krzywej (czymś w rodzaju paraboli). Zauważmy, że O spełnia również zależność

OO_2-d(O,l)=R_2

czyli leży na jeszcze jednej krzywej tego samego typu co ta "parabola" (te trzy krzywe przecinają się w punkcie O). Zatem zamiast wykazywać, że hiperbola i "parabola" mają co najwyżej dwa punkty wspólne, można wykazać, że te dwie "parabole" mają co najwyżej dwa punkty wspólne. I tak w istocie jest.

Nasza "parabola" zależy od wyboru prostej i punktu nie leżącego na tej prostej (i jest jednoznacznie przez nie wyznaczona). W naszym przypadku obie "parabole" są wyznaczone przez tę samą prostą i to wystarcza, żeby stwierdzić, że mają co najwyżej dwa punkty wspólne. Jak tak na to teraz patrzę, to dowód analityczny tego faktu nie powinien być trudny.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 28 lut 2019, o 08:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7136
Dla okręgu O o promieniu R stycznego do prostej l w punkcie A, zbiór punktów środków okręgów stycznych do O i l i niezawierających punktu A jest parabolą o kształcie paraboli y= \frac{1}{4R}x^2, o wierzchołku w punkcie A i osi symetrii prostopadłej do l.

Dla okręgów z treści zadania (o promieniach R i r) szukanym środkiem okręgu do nich stycznego będzie miejsce przecięcia parabol o wierzchołkach leżących na prostej (odległych o 2 \sqrt{Rr} ) i równoległych osiach symetrii. Gdy r=R parabole mają jednakowy kształt i przecinają się tylko w jednym miejscu. Gdy r \neq R to parabola o bardziej stromym kształcie przecina tylko jedno z ramion drugiej (bardziej rozłożystej) paraboli, i stąd dokładnie dwa rozwiązania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 okręgi styczne zewnętrznie - zadanie 6  tomi140  4
 Okręgi styczne zewnętrznie - zadanie 13  Narufirefox  7
 okręgi styczne zewnętrznie - zadanie 12  davidd  1
 Okręgi styczne zewnętrznie - zadanie 7  xXMadzia05Xx  1
 okręgi styczne zewnętrznie  monika_zabcia  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl