szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lut 2019, o 00:49 
Użytkownik

Posty: 2470
Lokalizacja: Warszawa
Pomóżcie, proszę, bo wskutek starczej demencji zaciąłem się na prostym problemie:
Który z trójkątów o danej długości podstawy i danej wysokości na nią opuszczonej ma najmniejszy obwód? Jestem niemal pewien, że chodzi o trójkąt równoramienny, ale wszelkie próby udowodnienia tego kończą się fiaskiem... :(
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lut 2019, o 08:05 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 7031
1)
Niech wierzchołki podstawy długości a będą ogniskami elipsy której półoś mała wynosi h (wtedy punkty elipsy są zbiorem wierzchołków trójkątów o takim samym obwodzie równym a+2 \sqrt{( \frac{a}{2} )^2+h^2}. Elipsa ta jest styczna do prostej (będącej zbiorem wierzchołków trójkątów o takiej samej wysokości), a punkt styczności leży na końcu półosi małej czyli jego rzut jest środkiem podstawy, co potwierdza Twoja tezę.

2)
Niech wierzchołkami trójkąta będą: (\frac{-a}{2},0) \ , \  ( \frac{a}{2},0) \ , \  ( 0,h).
Obw(x)=a+ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2} + \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}\\
Obw'(x)= \frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} + \frac{ x-\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}} \\
WK: \ \frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} + \frac{ x-\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}}=0
dla x \ge \frac{a}{2} lewa strona równania jest dodatnia, a dla x \le \frac{-a}{2} jest ujemna.
Dla \frac{-a}{2}<x<\frac{a}{2} zachodzi:
\frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} = \frac{ \frac{a}{2}-x}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}}\\
( x+\frac{a}{2})^2(( x-\frac{a}{2} )^2+h^2)=( \frac{a}{2}-x)^2(( x+\frac{a}{2} )^2+h^2)\\
( x+\frac{a}{2})^2=( \frac{a}{2}-x)^2\\
x=0
co potwierdza Twoja tezę.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lut 2019, o 11:00 
Użytkownik

Posty: 16596
Lokalizacja: Bydgoszcz
\begin{tikzpicture}
\draw[thick]  (-2,-2) node[below left] {A}--(2,-2) node[below right] {B} ;
\draw[thin] (-2,0)--(2,0);
\draw[thick]  (-2,2) node[above left] {B'}--(2,2) node[above right] {A'} ;
\draw[red] (-2,-2)--(2,2);
\draw[orange] (2,-2)--(-2,2);
\draw[blue] (-2,-2)--(1,0)--(2,2);
\draw[green] (2,-2)--(1,0)--(-2,2);




\end{tikzpicture}

Patrz !
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 19 lut 2019, o 11:33 
Użytkownik

Posty: 2470
Lokalizacja: Warszawa
kerajs, pierwszy sposób jest elegancki i nie wymaga rachunków, ale nie wpadłbym na niego, bo na śmierć zapomniałem o tej własności elipsy.
Sposób 2: Kombinowałem podobnie, ale wymiękłem przy zerowaniu pochodnej.

a4karo, Twój sposób jest tak prosty i oczywisty, że zwala z nóg, ale też nigdy bym na niego nie wpadł...

Dziękuję, chłopaki. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 trójkąt prostokątny ABC  Vixy  2
 trójkąt prostokątny i okrąg - zadanie 2  kaszubki  9
 Dowód na to że trójkąt jest prostokątny.  michal1989as  1
 trójkąt o bokach 3, 6 I 7  brida  2
 trójkąt rozwartokątny - zadanie 8  kaumerdbeere  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl