szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: suma z silniami
PostNapisane: 18 lut 2019, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 5820
Lokalizacja: Kraków
Zwinąć tę sumę \sum_{k=0}^n (-1)^k (n-k)! (n+k)!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 21 lut 2019, o 09:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 3698
Lokalizacja: blisko
Żeby zrobić to zadanie musimy tę sumę rozszerzyć w taki sposób, pokażę dla kilku przykładów:

Najpierw rozpiszmy tę sumę:

n! \cdot n!-(n-1)! \cdot (n+1)!+(n-2)! \cdot (n+2)!-... \pm (n-n)! \cdot (n+n)!

Teraz to rozpiszmy dla kilku przykładów i będziemy tę sumę rozszerzać...

Zamienimy tę sumę na sumę symetryczną...

dla.: n=0

w zadaniu mamy:

0! \cdot 0! \rightarrow  0! \cdot 0!=1= \frac{1!}{1} strzałka jest "przyporządkowaniem"

dla: n=1

1! \cdot 1!-0! \cdot 2!  \rightarrow -2! \cdot 0!+1! \cdot 1!-0! \cdot 2!=-3= -\frac{6}{2}=- \frac{3!}{2}

dla: n=2

2! \cdot 2!-1! \cdot 3!+0! \cdot 4!  \rightarrow 4! \cdot 0!-3! \cdot 1!+2! \cdot 2!-1! \cdot 3!+0! \cdot 4!=40 = \frac{120}{3}= \frac{5!}{3}

Widać już o co biega , suma rozszerzona to suma symetryczna, łatwo wysnuć wnioski, a mianowicie:

Ogólnie nasza suma po rozszerzeniu wygląda tak:

\pm (n+n)! \cdot (n-n)!...+(n+2)! \cdot (n-2)!-(n+1)! \cdot (n-1)!+n! \cdot n!-(n-1)! \cdot (n+1)!+(n-2)! \cdot (n+2)!-... \pm (n-n)! \cdot (n+n)!=

2\cdot  \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!-(n!)^2



Bo to co jest na prawo od.: n! \cdot n!

jest tym samym co jest na lewo od.: n! \cdot n!

A na końcu przed:

\pm (n-n)! \cdot (n+n)!

jest na przemian to plus to minus...


Wyniki , jakie daje rozszerzona suma są następujące:

1, -3, 40,...

Co nie trudno napisać na nie wzór:

\frac{1!}{1} ,-\frac{3!}{2}, \frac{5!}{3}, -\frac{7!}{4},...

Ogólnie:

(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n+1}, n=0,1,2,...

Czyli mamy:

2 \cdot  \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!-(n!)^2= (-1)^n\frac{(2n+1)!}{n+1}

co daje nam:


\cdot  \sum_{k=0}^{n}\left( n-k\right)! \cdot \left( n+k\right)!= \frac{1}{2}(n!)^2+(-1)^n\frac{(2n+1)!}{2(n+1)}= \frac{1}{2}\left[ (n!)^2+(-1)^n\frac{(2n+1)!}{n+1}\right]

Co jest prawdą, dla małych działa, a dla wielkich można udowodnić indukcyjnie co mi się już nie chce...

-- 23 lutego 2019, 03:03 --

Dziękuję...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 suma dwóch liczb  Ankaz  1
 Ile jest liczb 7-cyfrowych, których suma cyfr jest parzysta  peku33  1
 Suma z symbolem Newtona - zadanie 2  parapeciarz  3
 możliwosci wylosowania takich 3 liczb ktorych suma jest niep  cicha  0
 Suma z silnią  teusiek  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl