szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 13 lut 2019, o 21:31 
Użytkownik

Posty: 1717
Lokalizacja: Sosnowiec
Niech \sim będzie relacją równoważności na przestrzeni topologicznej (X,\tau), a e:X\rightarrow X/_{\sim} naturalnym przekształceniem ilorazowym. Jak wiadomo topologia ilorazowa określona jest wzorem

\tau/_{\sim}=\{U\subseteq X/_{\sim}: e^{-1}(U)\in\tau\}

Niech dalej \mathcal{B} będzie pewną bazą przestrzeni X i rozważmy rodzinę

\mathcal{R}:=\{e(B):B\in\mathcal{B}\}

Czy \mathcal{R} jest bazą pewnej topologii na X/_{\sim}? Jeśli tak, to czy ta topologia jest bogatsza lub uboższa od \tau/_{\sim} ?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 14 lut 2019, o 00:22 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 8380
Lokalizacja: Wrocław
\mathcal{R} nie musi być bazą topologii. Na przykład niech X = [0, 1] z naturalną topologią i niech \sim będzie najmniejszą relacją równoważności, taką że 0 \sim 1. Jako bazę \mathcal{B} weźmy rodzinę przedziałów relatywnie otwartych w [0, 1]. Wtedy R_1 = e \left[ \Big[ 0, \frac{1}{2} \Big) \right] \in \mathcal{R} i R_2 = e \left[ \Big( \frac{1}{2}, 1 \Big] \right] \in \mathcal{R}, ale przekroju R_1 \cap R_2 = \{ [0]_{\sim} \} nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów z \mathcal{R}.

Z drugiej strony łatwo pokazać, że \tau / {\sim} \subseteq \left\{ \bigcup \mathcal{R}_0 : \mathcal{R}_0 \subseteq \mathcal{R} \right\}, tj. gdyby rozważyć rodzinę złożoną z sum elementów \mathcal{R} (pomimo że ta rodzina może nie być topologią), to jest ona mocniejsza niż \tau / {\sim}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Topologia ilorazowa  xxmadlenxx  0
 Topologia i metryka w T3 T4  arek1357  22
 Topologia strzałki - zadanie 5  grazyna  1
 Czy topologia jest T1 przestrzenią  PannaTrefl  3
 Udowodnij, że T jest topologią.  Lemniskata  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl