szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2019, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Mielec
Dana jest funkcja charakterystyczna:

\Phi(t) =  \frac{5 + 7 cos(t)}{9}

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej.

Liczę sobie:
\Phi(t) =  \frac{5}{9}  + \frac{7}{18} e^{it} + \frac{7}{18} e^{-it}

Wygląda, że rozkład nie jest dyskretny więc chciałabym spróbować wyznaczyć gęstość. Jest wzór:

f(x) =  \frac{1}{2 \pi }  \int_{-\infty}^{\infty}  e^{itx} \Phi(t)  \mbox{d}t

Czyli po przekształceniach:
\frac{1}{2 \pi }  \int_{-\infty}^{\infty} \frac{5}{9}e^{itx}  + \frac{7}{18} e^{it(x+1)}  \frac{7}{18} e^{it(x-1)} \mbox{d}t

No i tą całkę jakoś policzę traktując i jak stałą, ale nie wiem jak mam podstawić te granice całkowania.

\lim_{ t \to  \infty }  \frac{e^{itx}}{ix} = ...

Będę wdzięczna za pomoc i każdą wskazówkę ;)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2019, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 4600
Przekształcenie odwrotne

Jeśli funkcja \phi(t) jest funkcją charakterystyczną pewnej zmiennej losowej X i całka \int_{\RR} |\phi(t)|< \infty, to

f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\RR} e^{-it\cdot x}\phi(t)dt .

Proszę uwzględnić minus w wykładniku potęgi i scałkować w przedziale t\in (-\infty, \infty).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lut 2019, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Mielec
Rzeczywiście, jeszcze minus.

No i właśnie tego nie umiem zrobić...
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}  \mbox{d}t = \left[ \frac{e^{-itx}}{-ix}  \right]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{-ix}\left[ 0 -  \infty \right] ???
Coś jest nie tak..
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lut 2019, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 4600
Jest to wartość główna (PV) całki Cauchy równa zeru.

Oblicza się ją rozwijając funkcję \frac{e^{-itx}}{tx} w szereg Taylora - Maclaurina i całkując
po pierścieniu w płaszczyźnie zespolonej Gaussa.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 lut 2019, o 01:49 
Użytkownik

Posty: 204
Lokalizacja: Mielec
W porządku, a da się jakoś prościej? W sensie bez narzędzi analizy zespolonej, bo tego jeszcze nie miałam.

Druga sprawa, że z tym zadaniem to jest chyba coś nie tak bo \Phi(0) \neq 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 lut 2019, o 10:43 
Użytkownik

Posty: 4600
Całkę obliczamy w dziedzinie zespolonej.

Rzeczywiście \phi(0) = \frac{12}{9} \neq 1.

Ta funkcja nie jest funkcją charakterystyczną.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 prawdopodobieństwo-rozkład zmiennej losowej  Anonymous  1
 Rozkład normalny ciężaru kurzych jaj :)  macduff  3
 2 zadania z prawdopodobienstwa (rozkład normalny)  Anonymous  1
 Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta  marcepan17  0
 rozkład - zadanie 2  Marzenaaa  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl