szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 20:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Witam znowu.
Czy w tym wywodzie są błędy?
Założenia: (X,||\cdot||_X), (Y,||\cdot||_Y) - przestrzenie unormowane.
L\colon X\to Y - odwzorowanie liniowe.
Teza: Jeżeli L jest ciągłe w zerze to \exists_{M>0}\forall_{x\in X.}\; ||x||_X < 1 \Rightarrow ||L(x)||_Y\leq M.

Zakładamy, że L jest ciągłe w zerze ale (dowód nie wprost) \forall_{n\in\mathbb{N}}\exists_{x_n\in X.}\; ||x||_X <1 \text{ i } ||L(x)||_Y > n.
Ustalmy x_0\in X oraz rozpatrujemy dowolny ciąg (x_n)_{n\in\mathbb{N}} taki, że x_n\to x_0 (wtedy \lim_{n\to\infty}||x_n-x_0||_X = 0).
Dalej, istnieje N\in\mathbb{N}, N\geq 1 takie, że dla n\geq N zachodzi ||x_n - x_0||_X < 1 oraz ||L(x_n-x_0)||_Y\geq N\geq 1.
Ale z ciągłości L w zerze L(x_n - x_0)\to 0 a z ciągłości normy ||L(x_n - x_0)||_Y \to 0 - sprzeczność.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 20:54 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Dowód jest zgrubsza niepoprawny.
Zaratustra napisał(a):
Dalej, istnieje N\in\mathbb{N}, N\geq 1 takie, że dla n\geq N zachodzi ||x_n - x_0||_X < 1 oraz \textcolor{red}{||L(x_n-x_0)||_Y\geq N\geq 1}.

Z czego wynika czerwony fragment?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 21:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
:? N jest takie, że ||x_n - x_0||_X < 1 dla n\geq N (chyba w domyśle mając nie napisałem tego jawnie) oraz x_n-x_0 \in X a założyliśmy, że dla takowych zachodzi ||L(x_n-x_0)||_Y\geq n\geq N\geq 1 :?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
No domyślam się, że jakoś chcesz to wywnioskować z założenia nie wprost, ale zauważ, że założenie nie wprost nie mówi, że dla dowolnego x\in X o normie mniejszej niż jeden mamy \|L(x)\|>n (to w ogóle mam mały sens, bo norma nie może być większa od dowolnego n). Założenie nie wprost mówi, że dla dowolnego n istnieje x o normie mniejszej niż 1 itd.

Tak w ogóle to pod kwantyfikatorem napisałeś x_n a dalej x, co też nie jest poprawne, szczególnie, że potem używasz oznaczenia (x_n) na inny (dowolny) ciąg.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 21:56 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Racja, widzę swój błąd. Pod kwantyfikatorem to tylko źle przepisałem z kartki ale potem faktycznie dalej używam x_n w innym znaczeniu :oops: Próbowałem jeszcze inaczej to napisać: wziąć ciąg x_n spełniających założenia tezy ale sam z siebie taki ciąg jest tylko ograniczony i miałem problem skorzystać z ciągłości, by pokazać, że nie może być ||L(x)||_Y > n.

W ten sposób dobrze?
Zakładam, że L jest ciągłe w zerze ale \forall_{n\in\mathbb{N}}\exists_{x_n\in X.}\; ||x_n||_X <1 \text{ i } ||L(x)||_Y > n.
To weźmy ciąg (x_n)_{n\in\mathbb{N} spełniających powyższe założenie.
I może takie cuś: \frac{x_n}{n}\to 0 bo (x_n)_{n\in\mathbb{N} ograniczony, (\frac{1}{n})_{n\in\mathbb{N} zbieżny do zera.
||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y\to 0 (bo z ciągłości L w zerze L\left(\frac{x_n}{n}\right)\to 0 i norma jest f. ciągłą). Ale z założenia ||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y\geq n - sprzeczność?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Zaratustra napisał(a):
Ale z założenia ||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y\geq n - sprzeczność?

Założenia mamy \|L(x_n)\|_Y>n, a nie ||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y\geq n.

Ale jesteś już blisko poprawnego dowodu.
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 23:01 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Ach, to literóweczka :C Ale pomijając ją jest coś jeszcze nie tak?
||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y \geq n , n\in\mathbb{N} , n\to\infty, zachowanie słabej nierówności, etc.?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 23:13 
Użytkownik

Posty: 1714
Lokalizacja: Sosnowiec
Nie chodzi o słabą nierówność. Przecież L(x_n) to nie jest to samo co L\left( \frac{x_n}{n}\right).
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 10 lut 2019, o 23:29 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 137
Lokalizacja: Polska
Ach pardon, za dużo naraz robię, ale dużo mam na głowie i się niecierpliwy robię :?
\|L(x_n)\|_Y>n, to ||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y> 1 (odwz. liniowe)
i dopiero to jest sprzeczne z tym, że ||L\left(\frac{x_n}{n}\right)||_Y\to 0.
Bardzo dziękuję :?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równoważne przestrzenie unormowane, dowód  jodelko  1
 odwzorowania ciągłe - zadanie 2  bzasol  1
 normy równoważne  mmarry  3
 norma odwzorowania liniowego  paver  3
 ograniczonosc operatora liniowego  riczi22  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl