szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 lut 2019, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Lublin
Niech R=\{ x\rightarrow y  |  x\in \NN^{2}_{0}   \wedge y\in \NN^{2}_{0}   \wedge x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \}.
Czy R jest relacją równoważności w zbiorze \NN^{2}_{0} ? Czy R jest relacją w zbiorze \NN^{2} ?
Dobrze to rozwiązałam?

\forall x\in \NN \implies (xRx) \implies  x_{1}\cdot x_{2} = x_{2}\cdot x_{1}| \div x_{2}  \implies  x_{1} = x_{1} to R jest zwrotna

\forall x,y\in \NN \implies (xRy \implies yRx) \implies  x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \implies  y_{1}\cdot x_{2} = y_{2}\cdot x_{1} to R jest symetryczna

\forall x,y,z\in \NN \implies (xRy \wedge yRz \implies xRz) \implies  x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \wedge y_{1}\cdot z_{2} = y_{2}\cdot z_{1} \implies y_{2}=\frac{x_{2}\cdot y_{1}}{x_{1}} \wedge y_{1}\cdot z_{2}=\frac{x_{2}\cdot y_{1}}{x_{1}}\cdot z_{1}|\div x_{1}\implies y_{1}\cdot z_{1}\cdot x_{1}=x_{2}\cdot y_{1} \cdot z_{1}|\div y_{1} \implies z_{2}\cdot x_{1}=x_{2}\cdot z_{1}
to R jest przechodnia

Najbardziej chodzi mi o to, żeby ktoś mi wytłumaczył w którym zbiorze ta relacja równoważności istnieje i dlaczego. Czy istnieje w zbiorze liczb naturalnych z zerem czy istnieje w zbiorze liczb naturalnych bez zera? i dlaczego? Na pewno nie istnieje w dwóch.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2019, o 17:34 
Administrator

Posty: 24596
Lokalizacja: Wrocław
karolinac99 napisał(a):
Niech R= \left\{ x\rightarrow y | x\in \NN^{2}_{0} \wedge y\in \NN^{2}_{0} \wedge x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \right\} .

A co to w ogóle jest?!

Czyżby chodziło o

R= \left\{ \left\langle x,y\right\rangle\in \NN^{2}_{0}\magenta \times \NN^{2}_{0}\black \ \left|\ x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \right\} \ ?

karolinac99 napisał(a):
\forall x\in \NN \implies \left( xRx \right) \implies x_{1}\cdot x_{2} = x_{2}\cdot x_{1}| \div x_{2} \implies x_{1} = x_{1} to R jest zwrotna

\forall x,y\in \NN \implies \left( xRy \implies yRx \right) \implies x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \implies y_{1}\cdot x_{2} = y_{2}\cdot x_{1} to R jest symetryczna

\forall x,y,z\in \NN \implies \left( xRy \wedge yRz \implies xRz \right) \implies x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \wedge y_{1}\cdot z_{2} = y_{2}\cdot z_{1} \implies y_{2}=\frac{x_{2}\cdot y_{1}}{x_{1}} \wedge y_{1}\cdot z_{2}=\frac{x_{2}\cdot y_{1}}{x_{1}}\cdot z_{1}|\div x_{1}\implies y_{1}\cdot z_{1}\cdot x_{1}=x_{2}\cdot y_{1} \cdot z_{1}|\div y_{1} \implies z_{2}\cdot x_{1}=x_{2}\cdot z_{1}
to R jest przechodnia

Abstrahując od tego, co próbujesz napisać, to zapis jest tragiczny i dyskwalifikuje ewentualną zawartość merytoryczną.

karolinac99 napisał(a):
Najbardziej chodzi mi o to, żeby ktoś mi wytłumaczył w którym zbiorze ta relacja równoważności istnieje i dlaczego. Czy istnieje w zbiorze liczb naturalnych z zerem czy istnieje w zbiorze liczb naturalnych bez zera? i dlaczego? Na pewno nie istnieje w dwóch.

Skoro masz jej definicję, to istnieje. To jest źle postawione pytanie. Ta relacja jest relacją zarówno w zbiorze \NN_0^2, jak i w zbiorze \NN^2, bo jest podzbiorem każdego z tych zbiorów.

Właściwe pytanie brzmi, w którym z tych zbiorów relacja R jest relacją równoważności. No i tutaj wracamy do sprawdzenia zwrotności, symetrii i przechodniości. Gdybyś napisała porządne rozumowania, a nie tę straszną kaskadę znaczków, to zauważyłabyś, że relacja R traktowana jako relacja w zbiorze \NN^2 nie jest przechodnia i wskazała stosowny kontrprzykład.

JK

edit: dodałem zgubiony czynnik w definicji relacji R i usunąłem uwagę o braku sensu. Niezrozumiała jest tylko ta strzałka.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2019, o 17:56 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Lublin
Dobrze, pomijając to, że mnie uczyli tak to wszystko zapisywać i nie trzeba się na mnie za to wyżywać. Prosiłam o pomoc. Byłabym wdzięczna za pokazanie jak powinnam to poprawnie rozwiązać.Dziękuje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2019, o 18:07 
Administrator

Posty: 24596
Lokalizacja: Wrocław
karolinac99 napisał(a):
Dobrze, pomijając to, że mnie uczyli tak to wszystko zapisywać i nie trzeba się na mnie za to wyżywać.

Nie wyżywam się, tylko stwierdzam fakt - zapis jest tragiczny. Nie oceniam, czyja to wina - tych, co Cię tak nauczyli, czy Twoja, że jednak źle się nauczyłaś.

Jak rozumiem, chodzi o tę relację:

R= \left\{ \left\langle x,y\right\rangle\in \NN^{2}_{0}\magenta \times \NN^{2}_{0}\black \ \left|\ x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \right\}.

Zanim przejdziemy do rozumowań wypadałoby też ustalić znaczenie symboli \NN i \NN_0 - które to liczby naturalne, a które naturalne dodatnie.

JK

edit: dodałem zgubiony czynnik w definicji relacji R.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 lut 2019, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Lublin
\NN^{2}_{0} - to liczby naturalne z zerem
\NN^{2} - to liczby naturalne bez zera
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lut 2019, o 18:41 
Administrator

Posty: 24596
Lokalizacja: Wrocław
karolinac99 napisał(a):
\NN^{2}_{0} - to liczby naturalne z zerem
\NN^{2} - to liczby naturalne bez zera

Rozumiem, ale odpowiedź jest niepoprawna, bo \NN^2=\NN\times \NN, więc to są pary liczb naturalnych dodatnich. Analogicznie w drugim przypadku. Ja pytałem się o \NN i \NN_0.

W związku z tym pojawia się pewien problem formalny. Relacja

R= \left\{ \left\langle x,y\right\rangle\in \NN^{2}_{0} \times \NN^{2}_{0} \ \left|\ x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \right\}

(a nawet lepiej

R= \left\{ \left\langle \left\langle x_1,x_2\right\rangle,\left\langle y_1,y_2 \right\rangle \right\rangle\in \NN^{2}_{0}\times \NN^{2}_{0} \ \left|\ x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1} \right\})

jest relacją na \NN^{2}_{0}, ale nie jest relacją na \NN^{2}, bo nie jest podzbiorem \NN^2\times \NN^2 (bo np. \left\langle \left\langle 0,0\right\rangle,\left\langle 0,0 \right\rangle\right\rangle \in R). Jeżeli zatem pytanie w zadaniu brzmiało istotnie tak, jak napisałaś

"Czy R jest relacją w zbiorze \NN^{2}? "

to odpowiedź na nie jest jak widać dość trywialnie negatywna, co sprawia, że pytanie jest niezbyt ciekawe. No ale może tak miało być.

Jeśli zaś chodzi o sprawdzenie, czy R jest relacją równoważności na \NN_0^2, to najpierw uwaga ogólna: rozumowania zapisujemy zdaniami w języku polskim, czasami używając symboli - tam, gdzie jest to wskazane.

Jeżeli chcesz sprawdzić, czy ta relacja jest zwrotna, to musisz ustalić dowolny element \NN_0^2 (czyli parę liczb naturalnych z zerem) i sprawdzić czy jest ona w relacji sam ze sobą. Piszemy zatem:

Ustalmy dowolne \left\langle x_1,x_2\right\rangle\in \NN_0^2. Ponieważ x_1\cdot x_2=x_2\cdot x_1, więc \left\langle x_1,x_2\right\rangle R \left\langle x_1,x_2\right\rangle. Wobec tego relacje R jest zwrotna.

Jeżeli chcesz sprawdzić, czy ta relacja jest symetryczna, to musisz ustalić dwa dowolne elementy \NN_0^2 (czyli dwie pary liczb naturalnych z zerem) takie, że pierwszy jest w relacji z drugim i sprawdzić, czy wtedy drugi jest w relacji z pierwszym. Piszemy zatem:

Ustalmy dowolne \left\langle x_1,x_2\right\rangle, \left\langle y_1,y_2\right\rangle\in \NN_0^2 takie, że \left\langle x_1,x_2\right\rangle R \left\langle y_1,y_2\right\rangle. Oznacza to, że x_{1}\cdot y_{2} = x_{2}\cdot y_{1}, ale wówczas x_{2}\cdot y_{1}=x_{1}\cdot y_{2}, czyli \left\langle y_1,y_2\right\rangle R \left\langle x_1,x_2\right\rangle, zatem relacja R jest symetryczna.

Teraz pomyśl, jak by to mogło wyglądać w przypadku przechodniości i czy na pewno uda się to zrobić.

JK

edit: poprawa usterki technicznej. Żeby lepiej pasowało do Twojej konwencji powinno być \left< \left< x_1, \textcolor{red}{x_2} \right>, \left< \textcolor{red}{y_1}, y_2 \right> \right>\in \NN^{2}_{0}\times \NN^{2}_{0} zamiast \left< \left< x_1, y_1\right>, \left< x_2, y_2 \right> \right>\in \NN^{2}_{0}\times \NN^{2}_{0} ze wszystkimi tego konsekwencjami.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Relacje równoważności - zadanie 10  Anonymous  22
 relacje równoważności - zadanie 8  Anonymous  5
 Relacje równoważności - zadanie 4  GIZMO1981  1
 Relacje równoważności - zadanie 28  virtue  1
 Relacje równoważności - zadanie 17  m994  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl