szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2019, o 19:36 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1799
Lokalizacja: warszawa
Jest taki wzór na pole trójkąta o wierzchołkach w punktach:

A\left( x _{a}, y _{a}  \right)
B\left( x _{b}, y _{b}  \right)
C\left( x _{c}, y _{c}  \right)

P= \frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a}  \right)\left(  y_{c} - y_{a} \right)-\left(  y_{b} - y_{a} \right) \left(  x_{c} - x_{a} \right)   \right|

Nie wiem skąd wynika ten wzór, czy macie jakieś wskazówki jak go udowodnić?
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2019, o 20:31 
Użytkownik

Posty: 4930
Sposób geometryczny (bez użycia iloczynu wektorowego w postaci wyznacznikowej)

W układzie prostokątnym zaznaczamy punkty A, B, C na przykład w I ćwiartce układu dla przejrzystości rysunku.

Oznaczamy AB = c, \ \  AC =b - wyznaczamy rzuty boków c, b na osie układu współrzędnych c_{x},\ \  c_{y},\ \  b_{x},\ \  b_{y}.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta

S = \frac{1}{2}bc\sin(\phi) = \frac{1}{2}bc \sin(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}bc (\sin(\beta)\cos(\alpha) -\cos(\beta)\sin(\alpha)) =\\ = \frac{1}{2}(b_{y}c_{x} - b_{x}c_{y})   =\frac{1}{2}[(y_{c}- y_{a})(x_{b}-x_{a}) - ( x_{c}- x_{a})(y_{b}- y_{a})].
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 29 sty 2019, o 21:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2255
Lokalizacja: hrubielowo
Albo zamiast patrzeć na to jak na pole trójkąta można powiedzieć, że to objętość graniastosłupa o podstawie "tego" trójkąta i wysokości 1. Objętość takiego graniastosłupa (co do wartości taka sama jak pole) wyraża się poprzez wartość iloczynu wektorowego. Tu można zrobić to na dwa sposoby dające znane wzory na pole trójkąta. Zatem ustalmy trzy punkty \left( x_a,y_a,1\right), \left( x_b,y_b,1\right), \left( x_c,y_c,1\right) i wektory

\overrightarrow{AB}=\left[x_b-x_a,y_b-y_a,0 \right]

\overrightarrow{AC}=\left[x_c-x_a,y_c-y_a,0 \right]

wtedy pole równe objętości będzie równe \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|. Pierwszy ze znanych wzorów mówi o tym iż pole jest równe

P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2} \cdot \text{iloczyn \ boków } \cdot \sin\left( \text{kąt \ pomiędzy bokami}\right)


A szukany przez Ciebie wzór można otrzymać stosując wyznacznikową metodę liczenia iloczyny wektorowego.

P=\frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}\imath&\jmath&k\\x_b-x_a&y_b-y_a&0\\x_c-x_a&y_c-y_a&0\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2} \left| \left( x _{b}-x _{a} \right)\left( y_{c} - y_{a} \right)-\left( y_{b} - y_{a} \right) \left( x_{c} - x_{a} \right) \right|


Istnieje też daleko idące uogólnienia tego rozumowania co opisuje teoria sznurówek pozwalająca w prosty sposób liczyć pola figur leżących na płaszczyźnie zadanych (definiowanych) przez zbiór punktów \left( x_i,y_i\right)\in\RR^2. A nawet rozważa się przejście graniczne gdy punków jest nieskończenie wiele i przybliżają jakąś krzywą zamkniętą \Gamma wtedy pole otoczone przez tą krzywą wyraża się poprzez P=\frac{1}{2}\oint_{\Gamma} -y\text{d}x+x\text{d}y, ten wzór ukazuje niewątpliwe podobieństwo pomiędzy polem trójkąta a wersją znacznie ogólniejszą.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór na odległość punktu od prostej, odległość prost  Anonymous  1
 Wzór na obliczenie stycznej sfery w przestrzenii  ruben  12
 Wzór na prostą pokrywającą się z wektorem  Anonymous  3
 Oblicz pole kwadratu ograniczonych prostymi o równaniach  Anonymous  1
 Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta. Dane ś  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl