szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 11:37 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
Korzystając z nierówności \ln (1+x) < x , x > 0

Udowodnij, że:
a_{n} = \left( 1+ \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{9} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{ 3^{n}} \right)
jest zbieżny
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 11:45 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: Poznań
Masz wskazówkę bardzo upraszczającą zadanie.

Podpowiem więcej, jeżeli ciąg nie byłby zbieżny, to jego logarytm także.
Zlogarytmuj każdy wyraz ciągu.
Wykorzystaj własność logarytmu z iloczynu i na koniec nierówność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 11:54 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
Nie mam dalej pomysłu jak to wykazać, mógłbyś mi pomóc bardziej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: Poznań
Oblicz

\ln a_n następnie rozdziel sobie to na sumę z własności logarytmu.

I zastosuj podaną nierówność ze względu na każdy sumowany składnik. Pokaż co ci wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 12:23 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
No i wyszło mi:

\ln {a}_ n < \frac{1}{2}

-- 21 sty 2019, o 11:24 --

i teraz skorzystać z funkcji ekspotencjalnej i mi wyjdzie że a_{n }< e^{ \frac{1}{2} }?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 12:34 
Użytkownik

Posty: 223
Lokalizacja: Poznań
Tak. Masz ciąg ograniczony od góry. Wystarczy jeszcze pokazać, że ciąg ten jest rosnący.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 17:10 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Wrocław
A jak wykazać że jest rosnący to nie mam pojecia to nie mam bladego pojęcia już, bo napisanie że \frac{1}{ 3^{n} } jest zawsze dodatnie to chyba jest zły pomysł
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 sty 2019, o 17:23 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2058
Lokalizacja: hrubielowo
Z definicji. Wystarczy policzyć \frac{a_{n+1}}{a_n} widać wtedy że

\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+ \frac{1}{3^{n+1}} >1

a zatem a_{n+1}>a_n co pokazuje że ciąg jest rosnący.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wykaż zbieżność ciągu  s-e-b  5
 Wykaż zbieżność ciągu - zadanie 2  znajomyPI  3
 Wykaż zbieżność ciągu - zadanie 3  mmss  1
 Wyznaczanie wzoru na ogólny wyraz ciągu.  metamatyk  9
 Badanie monotoniczności ciągu.  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl