szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
 Tytuł: Transformata Z
PostNapisane: 18 sty 2019, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Łódź
Proszę o pomoc w wyznaczeniu transformaty Z sygnału:

x(n)=2n^2 \cdot 4^{n-1}+2(n-2)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
 Tytuł: Transformata Z
PostNapisane: 19 sty 2019, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 4787
x(n) = 2n^2\cdot \frac{1}{4}\cdot 4^{n} + 2(n-2)

Z definicji i własności przekształcenia \mathcal{Z}

\mathcal{Z}[4^{n}] (z) = \sum_{n=0}^{\infty}4^{n}\cdot z^{-n}= 1 +\frac{4}{z}+ \frac{4}{z^2}+...+ \frac{4}{z^{n}}+...=\frac{1}{1 - \left(\frac{4}{z}\right)}, \ \ \left|\frac{4}{z}\right|<1.

\mathcal{Z}[ 4^{n}] (z) = \frac{z}{z - 4} \ \ (1)

\mathcal{Z}[n^2](z) = - \frac{d }{dz}\mathcal{Z}[n] = -z\frac {d \ \ z }{d z (z-1)^2} = \frac{z^2+z}{(z-1)^3} \ \ (2)

Korzystaliśmy ze wzoru rekurencyjnego

\mathcal{Z}[n^{p}](z) = -z\frac{d}{dz}\mathcal{Z}[n^{p-1}].

oraz transformaty

\mathcal{Z}[n](z) = \frac{z}{(z-1)^2}

\mathcal{Z}[ a^{n}\cdot n^2]\equiv U\left(\frac{z}{a}\right)=\frac{\frac{z}{a}}{\left[\frac{z}{a} - 1\right]^2}= \frac{a\cdot z}{(z-a)^2}.

\mathcal{Z}[a^{n}\cdot n^2](z) = \frac{a\cdot z^2 +a^2\cdot z}{(z-a)^3} \ \ (3)

Na podstawie (3)

\mathcal{Z}\left [ 2\cdot n^2 \cdot \frac{1}{4}\cdot 4^{n}\right] = \mathcal{Z}\left [ \frac{1}{2}n^2 \cdot 4^{n}\right] = \frac{1}{2}\cdot \frac{4z^2 +4^2\cdot z}{(z-4)^3} = \frac{2z^2+8z}{(z-4)^3}= \frac{2z\cdot (z+4)}{(z-4)^3} \ \ (4)

Pozostała transformacja \mathcal{Z} drugiego składnika sumy.

\mathcal{Z}[2(n-2)](z) = \mathcal{Z}(z)[ 2n -4] = \mathcal{Z}(z)[2n] - \mathcal{Z}[4] = \frac{2z}{(z -1)^2} - \frac{4z}{z -1}

\mathcal{Z}[2(n-2)](z) = \frac{2z -4z^2+4z}{(z-1)^2}= \frac{6z - 4z^2}{(z-1)^2}= \frac{2z \cdot (3- 2 z)}{(z-1)^2} \ \ (5)

Z (4), (5)

\mathcal{Z}[ x(n)] = \mathcal{Z}[ 2n^2\cdot 4^{n-1} + 2(n-2)](z) = \frac{2z\cdot (z+4)}{(z-4)^3} + \frac{2z \cdot (3- 2 z)}{(z-1)^2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Transformata Z - zadanie 10  leelee  1
 Transformata Z - zadanie 11  Ponczus  2
 transformata Z - zadanie 6  bazalt94  1
 Transformata Z - zadanie 13  fluffiq  0
 Transformata Z - zadanie 2  maros  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl