szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 16 sty 2019, o 20:39 
Użytkownik

Posty: 287
Lokalizacja: Włocławek
Nie rozumiem jak się przechodzi od granic do całkowania.
Dla przykładu mam taki problem.
Znaleźć granicę.
lim_{n 	o infty } frac{1}{n}  left(  sqrt[n]{e^2} + sqrt[n]{e^4} + ... + sqrt[n]{e^{2n}}  
ight)
Przeczytałem parę postów o liczeniu granic za pomocą forum i nadal nie rozumiem.
Np. Tutaj 109587.htm
lim_{n 	o + infty} frac{1}{n} sum_{i = 1}^n e^{2 frac{i}{n}} = int_0^1 e^{2x} ; mbox d x
Odpowiedź w stylu "przeczytaj definicję całki Riemanna" mnie nie usatysfakcjonuje, bo ją przeczytałem chyba z 3 razy.
Ewentualnie jak ktoś ma jakieś dobre źródło, gdzie to jest wytłumaczone to nie pogardzę.
Być może po prostu winna tego że jestem chory a sesja tuż tuż...
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Mężczyzna
PostNapisane: 16 sty 2019, o 21:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2122
Lokalizacja: hrubielowo
Funkcja ciągła jest całkowalna i o takich tu będę mówił. Więc definicja całki mówi, że całką oznaczoną na przedziale \left[ a,b\right] z funkcji f nazywamy liczbę:

\lim_{\delta\left(\mathcal{P}\right) \rightarrow 0}\sum_{k=1}^nf(x^*_k)\cdot\left(x_{k}-x_{k-1}\right)


Przy czym liczba ta nie zależy od sposobu dzielenia przedziału \left[ a,b\right] ciągiem x_k pod warunkiem, że \delta\left(\mathcal{P}) \rightarrow 0. Standardowo \delta\left(\mathcal{P}) to najdłuższy kawałek podziału \left[ a,b\right]. Oraz liczba ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich x_k^* takich, że jest to ciąg punktów o którym zakładamy x_k^*\in\left[ x_{k-1},x_k\right].

Wiedząc że funkcja ciągła jest całkowalna można z tych wszystkich niezależnych ciągów wybrać szczególne ciągi które będą spełniać założenia definicji. Zatem ustalmy

x_k=a+ \frac{b-a}{n}k

Dla k=0 ciąg startuje w punkcie a dla k=n (czyli ilość podziałów) ciąg będzie w b. Poza tym jest to równomierny podział odcinka \left[ a,b\right] zatem \delta (\mathcal{P})= \frac{b-a}{n} gdzie dla n \rightarrow  \infty spełnione będzie \delta\left(\mathcal{P}) \rightarrow 0

Pozostało jeszcze ustalić x_k^* jako że całka istnieje niezależnie od jego wyboru to ustalmy że x_k^*=x_k tym samym zapewniając że x_k^*\in\left[ x_{k-1},x_k\right]. Wstawiając to do wzoru ogólnego dostajemy że dla funkcji całkowalnych mamy

\int_{a}^{b}f(x) \mbox{d}x = \lim_{ n\to  \infty } \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( a+ \frac{b-a}{n}k\right)


I teraz licząc granicę na przykład taką jak Twoja jeśli uda nam się doszukać takich a,b oraz uda sie zapisać ja jako \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( a+ \frac{b-a}{n}k\right) to można liczyć całkę. Dla przykładu

\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{e^2} + \sqrt[n]{e^4} + ... + \sqrt[n]{e^{2n}} }{n}= \lim_{n \to  \infty } \frac{1}{n}  \sum_{k=1}^{n}  e^{ 2\frac{k}{n} }

widać od razu że a=0 oraz b=1 poza tym pod sumą mamy funkcję która z \frac{k}{n} robi e^{ 2\frac{k}{n} } zatem musi to być e^{2x}. Ostatecznie wolno zapisać że:

\lim_{n \to \infty } \frac{ \sqrt[n]{e^2} + \sqrt[n]{e^4} + ... + \sqrt[n]{e^{2n}} }{n}= \lim_{n \to  \infty } \frac{1}{n}  \sum_{k=1}^{n}  e^{ 2\frac{k}{n} }= \int_{0}^{1}e^{2x} \mbox{d}x

No i wydaje mi się że dobrym zwyczajem jest napisać że e^{2x} jest ciągła więc jest całkowalna i dlatego można zastosować tą metodę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 całka  Anonymous  1
 Całka nieoznaczona - zadanie 1660  uczeń777  1
 Całka funkcji trygonometrycznej - zadanie 3  juan_a  4
 całka i pochodna  Tom100  1
 Całka przez podstawianie - zadanie 3  SowaX  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl